二阶到 $n$ 阶微分方程

二阶可降阶型

一般的二阶微分方程都含有 $x,y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$ 四个变量，而当 $x,y$ 中的一个「缺席」时，这样的微分方程便是可降阶的。

核心思想：令 $y^{\prime }=p(x)$。

不显含 $y$

不显含 $y$，即形如 $y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$ 型。将方程看作是自变量为 $x$，因变量为 $y^{\prime }$ 的函数。

解法：

1. 令 $p(x)=y^{\prime }$，则 $y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$ 转化为 $p^{\prime }=f(x,p)$

2. 解得 $p=\phi (x,C_1)$，则有通解

   $$y=\int \phi (x,C_1)\mathrm{d}x+C_2$$

例 1

求微分方程 $x{y}^{\prime \prime }+3y^{\prime }=0$ 的通解。

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注意到缺 $y$。

令 $p(x)=y^{\prime }$，则有

$$\begin{array}{rl}x{p}^{\prime }+3p& =0\\ p^{\prime }+\frac{3}{x}p& =0\end{array}$$

代入公式，得到

$$p=C_3{e}^{-\int \frac{3}{x}\mathrm{d}x}=\frac{C_3}{x^3}$$

故有

$$y=\int p\mathrm{d}x=-\frac{C_3}{2}{x}^{-2}+C_2=C_1{x}^{-2}+C_2$$

TIP

系数能合并尽量合并。

不显含 $x$

不显含 $x$，即形如 $y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$ 型。将方程看作是自变量为 $y$，因变量为 $y^{\prime }$ 的函数。

解法：

1. 令 $p(y)=y^{\prime }$，则

   $$y^{\prime \prime }=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=p\cdot \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$$

   原方程转化为

   $$p\cdot \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}=f(y,p)$$

2. 解得 $p=\phi (y,C_1)$ 即 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\phi (y,C_1)$，分离变量积分

   $$\int \frac{\mathrm{d}y}{\phi (y,c_1)}=x+C_2$$

例 2