1.1 映射与函数

映射

概念

映射：设 $X,Y$ 是两个非空集合，如果存在一个法则 $f$，使得对 $X$ 中的每个元素 $x$，按法则 $f$，在 $Y$ 中有唯一确定的元素 $y$ 与之对应，那么称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的映射，记作 $f:X\to Y$。

像：其中 $y$ 称为元素 $x$ 在映射 $f$ 下的一个像，并记作 $f(x)$，即 $y=f(x)$。

原像：元素 $x$ 称为元素 $y$ 在映射 $f$ 下的一个原像。

定义域：集合 $X$ 称为映射 $f$ 的定义域，记作 $D_f$，即 $D_f=X$。

值域：$X$ 中所有元素的像组成的集合称为 $f$ 的值域，记作 $R_f$ 或 $f(X)$，即 $R_f=f(x)=\{f(x)|x\in X\}$。

满射：设有映射 $f:X\to Y$，如果 $f$ 的值域就是 $Y$，那 $f$ 称为 $X$ 到 $Y$ 上的映射或满射。

单射：若 $\forall x_1,x_2\in D_f,f(x_1)\ne f(x_2)$，就说 $f$ 是 $X$ 到 $Y$ 的单射。

如果既是满射又是单射，就说 $f$ 是 $X$ 到 $Y$ 的一一映射或双射。

映射又称为算子。根据集合 $X,Y$ 的不同情形，在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称。例如，从非空集合 $X$ 到数集 $Y$ 的映射又称为 $X$ 上的泛函，从非空集合 $X$ 到它自身的映射又称为 $X$ 上的变换，从实数集（或其子集）$X$ 到实数集 $Y$ 的映射通常称为定义在 $X$ 上的函数。

逆映射与复合映射

逆映射：设 $f$ 是 $X$ 到 $Y$ 的单射，有定义，对于每个 $y=R_f$，有唯一的 $x\in X$ 满足 $f(x)=y$，因此我们可以定义一个新映射 $g:R_f\to X$，使得 $g(y)=x$。$g$ 称为 $f$ 的逆映射，记作 $f^{-1}$。根据定义，只有单射才有逆映射。

复合映射：对于两个映射 $g:X\to Y_1,f:Y_2\to Z$ 且 $Y_1\subset Y_2$，可以定义映射 $h:X\to Z$，使得 $h(x)=f[g(x)]$。$h$ 称为 $g$ 和 $f$ 构成的复合映射，记作 $f\circ g$。即 $(f\circ g)(x)=f\left[g(x)\right]$。需要注意，$R_g\subset D_f$。

数集

有理数集

有理数，即整数，有限小数与无限循环小数组成的数集。

有理数集是一个数域，但有理数集对极限运算的结果是不封闭的，有理数进行极限运算的结果可能是无理数。

NOTE

补充概念：数域，指对加减乘除四则运算封闭的代数系统。

无理数集

无理数集，是由无理数，即全体无限不循环小数组成的数集。

任何一个无理数都可以表示为无穷有理数列的极限，即无理数都可以由有理数无限逼近。

实数集

实数集是由全体实数，即全体有理数和全体无理数组成的数集。

实数集的性质

• 实数集是一个数域；
• 实数集是一个有序集，即其中任意两个元素之间可以比较大小；
• 实数集具有稠密性，即任意两个元素之间都有无穷多个元素；
• 实数集具有连续性；
• 相对于有理数集对极限运算是不封闭的，实数集对极限运算是封闭的；

区间与邻域

区间一定是连续的，$(-a,0)\cup (0,a)$ 就不是区间。

邻域

对于实数 $\delta >0$，$(a-\delta ,a+\delta )$ 称为 $a$ 的 $\delta$ 邻域，记作 $U(a,\delta )$。

$(a-\delta ,a)\cup (a,a+\delta )$ 称为 $a$ 的去心 $\delta$ 邻域，记作 $\mathring{U}(a,\delta )$。

这里的 $\delta$ 可以形象地称为邻域半径。在不强调半径的时候，$\delta$ 可以略去，记作 $U(a)$ 和 $\mathring{U}(a)$。

开区间、闭区间的邻域定义

开区间：对于区间内的每一个数都有在区间内的邻域。

闭区间：区间两端的元素没有在区间内的邻域。

函数

概念

若数集 $D\subset \mathbf{R}$，则称映射 $f:D\to \mathbf{R}$ 为定义在 $D$ 上的函数，记为 $y=f(x),x\in D$。

省略的高中内容：自变量、因变量、定义域、函数值、函数关系、奇偶性、周期性

函数中，值域 $R_f$ 也可记作 $f(D)$。

自然定义域：使得解析式有意义的一切实数组成的集合。

图形：平面上的点集 $\{P(x,y)|y=f(x),x\in D\}$ 称为函数 $y=f(x)$ 的图形。

常用函数

绝对值函数：$y=|x|=\{\begin{array}{ll}-x,& x<0\\ x,& x\ge 0\end{array}$

取整函数：$y=\left[x\right]$（不大于 $x$ 的最大整数）。

符号函数 $y=\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{ll}-1,& x<0\\ 0,& x=0\\ 1,& x>0\end{array}$

函数的特性

有界性

函数的有界性指函数的取值在某个范围内不会无限增大或减小。

• 若 $f(x)$ 满足

  $$\exists M,\forall x\in D,f(x)\le m$$

  则称其在 $D$ 上有上界。

• 若 $f(x)$ 满足

  $$\exists m,\forall x\in D,f(x)\ge m$$

  则称其在 $D$ 上有下界。

• 若 $f(x)$ 满足

  $$\exists M>0,\forall x\in D,|f(x)|\le M$$

  则称其在 $D$ 上有界。

函数的有界也可以这样理解：如果一个函数同时上有界和下有界，那么它就是有界的。

WARNING

有界是上界和下界都要有，而不是有一个就行。数列的有界也是一样。

单调性

高中的单调递增现在称为单调增加，单调递减称为单调减少。

周期性

WARNING

周期函数不一定有最小正周期 —— 例：狄利克雷函数 $D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in \mathbf{Q}\\ 0,& x\in {\mathbf{Q}}^C\end{array}$；

两个周期函数的和不一定是周期函数。例如 $f(x)=\sin x+\sin \pi x$。

反函数与复合函数

反函数：设函数 $f:D\to f(D)$ 是单射，则它存在逆映射 $f^{-1}:f(D)\to D$。称此映射 $f^{-1}$ 为函数 $f$ 的反函数。对于一个反函数，其原函数称为直接函数。

反函数是逆映射的特例。不是所有的函数都有反函数，只有是单射的函数才有反函数。

原函数在定义域上单调，则反函数也在定义域上单调，且单调性一致。用反证法易证。

作为复合映射的特例，我们有复合函数的概念。复合函数中，$y=f(u),u=g(x)$ 中，$u$ 称为中间变量。复合函数记作 $f\circ g$，即 $(f\circ g)(x)=f\left[g(x)\right]$。

NOTE

对于复合函数 $f\circ g$，原则上要求 $R_g\subset D_f$。但一般为了简便起见，不对此强制要求，而是收缩 $g$ 的定义域。

例如，$y=\sqrt{\tan x}$ 仍称为 $y=\sqrt{u}$ 和 $u=\tan x$ 的复合函数，虽然前者的定义域为 $[0,+\infty )$，后者的值域为 $\mathbf{R}$，但是我们认为这里的 $u=\tan x$ 的定义域收缩到其子集 $D^{\prime }=\{x|k\pi \le x<k+\frac{1}{2}\pi ,k\in \mathbf{Z}\}$。

函数的运算

对于两个函数 $f(x),g(x)$ 的定义域为 $D_f,D_g$，二者运算的前提是 $D_f\cap D_g\ne \varnothing$。

对于函数 $f(x)$，若其定义域关于原点对称，则必有奇函数 $g(x)$ 和偶函数 $h(x)$ 使得 $f(x)=g(x)+h(x)$。

$$\begin{array}{rl}g(x)& =\frac{f(x)-f(-x)}{2}\\ h(x)& =\frac{f(x)+f(-x)}{2}\end{array}$$

初等函数

幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数五类称为基本初等函数。

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。