1.12 闭区间上连续函数的性质

有界性与最大值最小值定理

对于在区间 $I$ 上有定义的函数 $f(x)$，如果有 $x_0\in I$，使得对于任一 $x\in I$ 都有

$$f(x)\le f(x_0)(f(x)\ge f(x_0))$$

那么称 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的最大值（最小值）。

定理 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。

零点定理与介值定理

如果 $x_0$ 使 $f(x_0)=0$，那么 $x_0$ 称为函数 $f(x)$ 的零点。

零点定理

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\cdot f(b)<0$，则在开区间 $(a,b)$ 上至少有一点 $\xi$，使得 $f(\xi )=0$。

介值定理

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且这区间的端点取不同的值 $f(a)=A,f(b)=B$，则对于 $A,B$ 之间的任意一个数 $C$，在开区间 $(a,b)$ 上至少有一点 $\xi$，使得 $f(\xi )=C$。

推论 在闭区间 $[a,b]$ 上连续的函数 $f(x)$ 的值域为闭区间 $[m,M]$，其中 $m$ 和 $M$ 依次为 $[a,b]$ 上的最小值与最大值。

一致连续性

定义 设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在正数 $\delta$，使得对于区间 $I$ 上的任意两点 $x_1,x_2$，当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$。

$f(x)=\frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1]$ 上连续，但不是一致连续。

定理（一致连续定理）如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，那么它在该区间上一致连续。

例 1

判断并证明 $f(x)=x^2$ 是否在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上一致连续。

非一致连续。

假设 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 一致连续，则 $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0$ 使得 $\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 满足 $|x_2-x_1|$，都有 $|f(x_2)-f(x_1)|<\epsilon$。

不妨取 $\epsilon =1,x_2=x_1+\frac{\delta }{2}$，则有

$$\begin{array}{c}|f(x_2)-f(x_1)|=|(x_1+x_2)(x_1-x_2)|=(2x_1+\frac{\delta }{2})\frac{\delta }{2}<\epsilon =1\\ \Rightarrow x_1<\frac{1}{\delta }-\frac{\delta }{4}\end{array}$$

这与 $x_1$ 可取任意大正数相矛盾。故假设不成立，$f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 非一致连续。证毕。

例 2

判断并证明 $f(x)=\sin x^2$ 是否在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上一致连续。

非一致连续。

取 ${\epsilon }_0={\displaystyle \frac{1}{2}},x_1=\sqrt{n\pi },x_2=\sqrt{n\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$，$\mathrm{\forall }\delta >0$ 有

$$\begin{array}{c}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(x_2-x_1)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{n\pi +\frac{\pi }{2}}-\sqrt{n\pi })=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n\pi +\frac{\pi }{2}-n\pi }{\sqrt{n\pi +\frac{\pi }{2}}+\sqrt{n\pi }}=0<\delta \\ f(x_2)-f(x_1)=\sin (n\pi +\frac{\pi }{2})-\sin (n\pi )=1-0=1>{\epsilon }_0\end{array}$$

即对于 ${\epsilon }_0=1$，找不到 $\delta$ 使得 $|x_2-x_1|<\delta$ 时 $|f(x_2)-f(x_1)|<{\epsilon }_0$。故 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 非一致连续。证毕。

TIP

这两道例题是证明函数非一致连续的两种重要方法。

1. 假设一致连续，推出 $x$ 具有某种限制条件；
2. 取 $x_1,x_2$ 使得 $lim|x_1-x_2|=0$ 的同时 $|f(x_1)-f(x_2)|\ne 0$。

例 3

若函数 $f(x)$ 在 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上连续，且 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=b$，求证：$f(x)$ 在 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上一致连续。

证

$$\begin{array}{c}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=b\Rightarrow \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }X\in [a,+\mathrm{\infty }),\mathrm{\forall }x>X,|f(x)-b|<\frac{\epsilon }{2}\\ \Rightarrow \mathrm{\forall }{x}_1,x_2>X,|f(x_1)-f(x_2)|=|[f(x_1)-b]-[f(x_2)-b]|\\ \le |f(x_1)-b|+|f(x_2)-b|=\epsilon \end{array}$$

故 $f(x)$ 在 $(X,+\mathrm{\infty })$ 上一致连续。

又有 $f(x)$ 在 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上连续，故 $f(x)$ 在 $[a,X]$ 上一致连续。

综上，$f(x)$ 在 $[a,+\mathrm{\infty })$ 上一致连续。