6.1 微分方程的概念

微分方程最重要的只有三件事：

1. 识别题型
2. 固定步骤
3. 不定积分计算

微分方程，实质就是给出一个关于某函数及其各阶导数的等式，求这个函数。

• $n$ 阶微分方程：含有自变量 $x$，未知函数 $y$ 及其各阶导数的方程
• 方程的阶：方程中 $y$ 的导数的最高阶数
• 方程的解：使微分方程为恒等式的函数 $y(x)$
  • 通解：含独立常数个数与方程阶数相同的解
  • 特解：不含任意常数或者任意常数确定后的解
• 初始条件（定解条件）：能确定通解中常数的条件
• 线性微分方程：$y$ 及其各阶导数都是一次项，且系数都是 $x$ 的函数

通解中「任意常数的个数与阶数相同」的理解

方程有 $n$ 阶意味着要进行 $n$ 次不定积分，因此会产生 $n$ 个积分常数，反应在通解中。

例

微分方程	分类
$p(x)y+q(x)y^{″}=y^{(4)}$	4 阶线性
$y^{\prime }y-2xy=3$	1 阶非线性
$y^{\prime }=y^2+1$	1 阶非线性
$y^{\prime }=\sin y^{″}+6y$	2 阶非线性
$x^2{y}^{″}+(\sin x)y^{\prime }+y=e^x$	2 阶线性

并不是所有微分方程都能求出解析解。本章只学习一部分容易求解的类型，包含：

1. 一阶微分方程（在考试中占比 80%）
   1. 可分离变量型
   2. 齐次方程
   3. 一阶线性
   4. 积分方程
   5. 伯努利方程
2. 二阶可降阶型微分方程
3. $n$ 阶线性微分方程
4. 二阶常系数线性微分方程
   1. 齐次
   2. 非齐次
5. 高阶常系数线性齐次微分方程
   1. 欧拉方程