9.1 多元函数的极限与连续

多元函数的极限

• 若 $x,y$ 以任意方式趋近 $x_0,y_0$ 时，$f(x,y)\to A$，则记 $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A$ 或 $\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{\lim }f(x,y)=A$
• 如果从不同方式趋近时所得结果不同，则极限不存在
• 常用的趋近方式有：
  • 设 ${\rho }^2=x^2+y^2$，让 $\rho \to 0$
  • 设 $x=a\sin t,y=a\cos t$，让 $a\to 0$
  • 设 $y=kx$，让 $x\to 0$
• 常用的处理方法有：
  • 夹逼定理
  • 重要极限
  • 等价无穷小
  • 泰勒展开

例 1

求极限 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{\ln (1+x^2+y^2)}{x^2+y^2}$。

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设 ${\rho }^2=x^2+y^2$，则

$$\begin{array}{rl}I& =\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{\ln (1+{\rho }^2)}{{\rho }^2}\\ & =\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{{\rho }^2}{{\rho }^2}\\ & =1\end{array}$$

例 2

求极限 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}$。

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设 $x=a\sin \theta ,y=a\cos \theta$，则有

$$\begin{array}{rl}I& =\underset{a\to 0}{\lim }\frac{a^2{\sin }^2\theta \cdot a\cos \theta }{a^2{\sin }^2\theta +a^2{\cos }^2\theta }\\ & =\underset{a\to 0}{\lim }a\cdot ({\sin }^2\theta \cos \theta )\\ & =0\end{array}$$

例 3

求极限 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{xy}{x^2+y^2}$。

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设 $y=kx$，$k$ 为任意常数。则

$$I=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{k{x}^2}{x^2+k^2{x}^2}=\frac{k}{1+k^2}$$

当 $k$ 取得不同值时，结果不同，因此原极限不存在。

例 4

求极限 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\left(x\sin \frac{1}{y}+y\sin \frac{1}{x}\right)$。

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由于 $-|x|-|y|\le \left|x\sin \frac{1}{y}+y\sin \frac{1}{x}\right|\le |x|+|y|$，又有 $x\to 0,y\to 0$，根据夹逼定理，原极限为 $0$。

例 5

求极限 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }(1+\sin x{)}^{\frac{y+1}{x}}$。

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形式比较眼熟，尝试往重要极限 $\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$ 来凑。

$$\begin{array}{rl}I& =\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }(1+\sin x{)}^{\frac{1}{\sin x}\cdot \frac{(y+1)\sin x}{x}}\\ & =\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\exp \left[\frac{(y+1)\cancel{\sin x}}{\cancel{x}}\right]\\ & =e^1=e\end{array}$$

多元函数的连续

类似一元函数，若 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0)$，则 $f(x)$ 在 $(x_0,y_0)$ 连续。

例 6

判断函数 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}0& x=y=0\\ \frac{x^2{y}^2}{(x^2+y^2{)}^{\frac{3}{2}}}& xy\ne 0\end{array}$ 在 $(0,0)$ 处是否连续。

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设 $x=a\sin \theta ,y=a\cos \theta$，则有

$$\begin{array}{rl}\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{\lim }f(x,y)& =\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{\lim }\frac{x^2{y}^2}{(x^2+y^2{)}^{\frac{3}{2}}}\\ & =\underset{a\to 0}{\lim }\frac{a^2{\sin }^2\theta \cdot a^2{\cos }^2\theta }{(a^2{\sin }^2\theta +a^2{\cos }^2\theta {)}^{\frac{3}{2}}}\\ & =\underset{a\to 0}{\lim }\frac{a^4{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta }{|a|}\\ & =\underset{a\to 0}{\lim }|a^3|\cdot ({\sin }^2\theta {\cos }^2\theta )\\ & =0\end{array}$$

故有 $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}{\lim }f(x,y)=f(0,0)$，故 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续。