4.3 分部积分法

设函数 $u = u (x)$ 与 $v = v (x)$ 具有连续导数，由函数乘积的导数公式：

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

得：

u v^{'} = (uv)^{'} - u^{'} v

恒等式两边求不定积分，得：

\int u v^{'} d x = uv - \int u^{'} v d x

\int u d v = uv - \int v d u

NOTE

使用分部积分法的条件：

例 1

求不定积分

\int arctan x d x

解：

原式 = x arctan x - \int x d arctan x = x arctan x - \int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = x arctan x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x ^{2}} d (1 + x^{2}) = x arctan x - \frac{1}{2} ln (1 + x^{2}) + C

TIP

选择简单的 $u$ ：通常选择一个易于微分的函数作为 $u$ 。

选择易于积分的 $d v$ ：选择一个容易计算其不定积分的部分作为 $d v$ 。

顺序法则： $u$ 常用的选择顺序为「反对幂指三」，即：

这是因为，反三角函数和对数函数好求导、难积分，比较「惰性」，而指数函数和三角函数相对容易积分。所以将指数函数、三角函数放在 $d$ 后，将对数函数、反三角函数放在 $d$ 前。幂函数（多项式）就相对无所谓一点。

例 2

求不定积分

\int x e^{x} d x

解：

\int x e^{x} d x = \int x d e^{x} = x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C

例 3

求不定积分

\int x^{2} e^{x} d x

由分部积分法：

\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - \int e^{x} d (x^{2}) = x^{2} e^{x} - 2 \int x e^{x} d x

对 $\int x e^{x} d x$ 再次使用分部积分法：

\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - e^{x}) + C = e^{x} (x^{2} - 2 x + 2) + C

例 4

求不定积分

\int \frac{ln x}{x} d x

由分部积分法

\int \frac{ln x}{x} d x = \int ln x d (ln x) = (ln x)^{2} - \int \frac{ln x}{x} d x

移项得

\int \frac{ln x}{x} d x = \frac{( ln x ) ^{2}}{2} + C

例 5

求不定积分

\int e^{x} d x

令 $x = t$ ，则 $x = t^{2}, d x = 2 t d t$

\int e^{x} d x = \int e^{t} d t^{2} = 2 \int t e^{t} d t

这便转化为了例 2 中的问题。

\int e^{x} d x = 2 \int t e^{t} d t = 2 e^{t} (t - 1) + C = 2 e^{x} (x - 1) + C

例 6

求不定积分

\int x^{2} ln x d x

解：

I = \frac{1}{3} \int ln x d^{3} = \frac{1}{3} (x^{3} ln x - \int x^{3} d ln x) = \frac{1}{3} x^{3} ln x - \frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x = \frac{1}{3} x^{3} ln x - \frac{1}{9} \int x^{3} + C

例 7

求不定积分

\int \frac{x e ^{x}}{( x + 1 ) ^{2}} d x

解：

I = \int \frac{( x + 1 ) - 1}{( x + 1 ) ^{2}} e^{x} d x = \int \frac{e ^{x}}{x + 1} d x - \int \frac{e ^{x}}{( x + 1 ) ^{2}} d (x + 1) = \int \frac{e ^{x}}{x + 1} d x + \int e^{x} d \frac{1}{x + 1} = \int \frac{e ^{x}}{x + 1} d x + e^{x} \frac{1}{x + 1} - \int \frac{e ^{x}}{x + 1} d x = \frac{e ^{x}}{x + 1} + C

TIP

该题技巧性偏强，属中档题。后续会介绍更多技巧。

补充：原函数存在定理

设 $f (x)$ 在区间 $I$ 上连续，则 $f (x)$ 在区间 $I$ 上一定存在原函数 $F (x)$ 。

注：初等函数的原函数不一定是初等函数，例如 $\int sin (x^{2}) d x$ ， $\int e^{- x^{2}} d x$ 等的被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，即「积不出」。

4.3 分部积分法 ​