4.3 分部积分法

设函数 $u = u (x)$ 与 $v = v (x)$ 具有连续导数，由函数乘积的导数公式：

(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

得：

u v^{'} = (u v)^{'} - u^{'} v

恒等式两边求不定积分，得：

\int u v^{'} d x = u v - \int u^{'} v d x

\int u d v = u v - \int v d u

NOTE

使用分部积分法的条件：

例 1

求不定积分

\int \arctan x d x

解：

\begin{aligned} 原 式 & = x \arctan x - \int x d \arctan x \\ = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x \\ = x \arctan x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x^{2}} d (1 + x^{2}) \\ = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2}) + C \end{aligned}

TIP

选择简单的 $u$ ：通常选择一个易于微分的函数作为 $u$ 。

选择易于积分的 $d v$ ：选择一个容易计算其不定积分的部分作为 $d v$ 。

顺序法则： $u$ 常用的选择顺序为「反对幂指三」，即：

这是因为，反三角函数和对数函数好求导、难积分，比较「惰性」，而指数函数和三角函数相对容易积分。所以将指数函数、三角函数放在 $d$ 后，将对数函数、反三角函数放在 $d$ 前。幂函数（多项式）就相对无所谓一点。

例 2

求不定积分

\int x e^{x} d x

解：

\begin{aligned} \int x e^{x} d x & = \int x d e^{x} \\ = x e^{x} - \int e^{x} d x \\ = x e^{x} - e^{x} + C \end{aligned}

例 3

求不定积分

\int x^{2} e^{x} d x

由分部积分法：

\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - \int e^{x} d (x^{2}) = x^{2} e^{x} - 2 \int x e^{x} d x

对 $\int x e^{x} d x$ 再次使用分部积分法：

\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - e^{x}) + C = e^{x} (x^{2} - 2 x + 2) + C

例 4

求不定积分

\int \frac{\ln x}{x} d x

由分部积分法

\int \frac{\ln x}{x} d x = \int \ln x d (\ln x) = (\ln x)^{2} - \int \frac{\ln x}{x} d x

移项得

\int \frac{\ln x}{x} d x = \frac{(\ln x)^{2}}{2} + C

例 5

求不定积分

\int e^{\sqrt{x}} d x

令 $\sqrt{x} = t$ ，则 $x = t^{2}, d x = 2 t d t$

\int e^{\sqrt{x}} d x = \int e^{t} d t^{2} = 2 \int t e^{t} d t

这便转化为了例 2 中的问题。

\int e^{\sqrt{x}} d x = 2 \int t e^{t} d t = 2 e^{t} (t - 1) + C = 2 e^{\sqrt{x}} (\sqrt{x} - 1) + C

例 6

求不定积分

\int x^{2} \ln x d x

解：

\begin{aligned} I & = \frac{1}{3} \int \ln x d^{3} \\ = \frac{1}{3} (x^{3} \ln x - \int x^{3} d \ln x) \\ = \frac{1}{3} x^{3} \ln x - \frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x \\ = \frac{1}{3} x^{3} \ln x - \frac{1}{9} \int x^{3} + C \end{aligned}

例 7

求不定积分

\int \frac{x e^{x}}{(x + 1)^{2}} d x

解：

\begin{aligned} I & = \int \frac{(x + 1) - 1}{(x + 1)^{2}} e^{x} d x \\ = \int \frac{e^{x}}{x + 1} d x - \int \frac{e^{x}}{(x + 1)^{2}} d (x + 1) \\ = \int \frac{e^{x}}{x + 1} d x + \int e^{x} d \frac{1}{x + 1} \\ = \int \frac{e^{x}}{x + 1} d x + e^{x} \frac{1}{x + 1} - \int \frac{e^{x}}{x + 1} d x \\ = \frac{e^{x}}{x + 1} + C \end{aligned}

TIP

该题技巧性偏强，属中档题。后续会介绍更多技巧。

补充：原函数存在定理

设 $f (x)$ 在区间 $I$ 上连续，则 $f (x)$ 在区间 $I$ 上一定存在原函数 $F (x)$ 。

注：初等函数的原函数不一定是初等函数，例如 $\int \sin (x^{2}) d x$ ， $\int e^{- x^{2}} d x$ 等的被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，即「积不出」。

4.3 分部积分法 ​