9.2 多元函数的微分

偏导数

概念

• 只关注一个变量，把其他变量视为常数，求导的结果就是偏导数
• $f$ 对 $x$ 求偏导，可记为 $f_x^{\prime }(x,y)$ 或 $\frac{\partial f}{\partial x}$

例 1

设 $f(x,y)=\frac{1}{2}\ln (x^2+y^2)+\arctan \frac{y}{x}$，求 $\frac{\partial f}{\partial x}$，$\frac{\partial f}{\partial y}$。

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$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f}{\partial x}& =\frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{x^2+y^2}+\frac{-\frac{y}{x^2}}{1+(\frac{y}{x}{)}^2}\\ & =\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}\\ & =\frac{x-y}{x^2+y^2}\\ \frac{\partial f}{\partial y}& =\frac{1}{2}\cdot \frac{2y}{x^2+y^2}+\frac{\frac{1}{x}}{1+(\frac{y}{x}{)}^2}\\ & =\frac{y}{x^2+y^2}+\frac{x}{x^2+y^2}\\ & =\frac{x+y}{x^2+y^2}\end{array}$$

高阶偏导

• 若对偏导数再求偏导，可得高阶偏导，例如 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$，$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$，$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$
• 其中 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$ 也成为混合偏导，若混合偏导连续，则有 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$

例 2

求 $f(x,y)=x^2\sin 2y$ 的二阶偏导 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$，$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$，$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$，$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$

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$$\begin{array}{rlrl}\frac{\partial f}{\partial x}& =2x\sin 2y& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}& =\frac{\partial }{\partial x}2x\sin 2y=2\sin 2y\\ \frac{\partial f}{\partial y}& =2x^2\cos 2y& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}& =\frac{\partial }{\partial y}2x^2\cos 2y=-4x^2\sin 2y\end{array}$$$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}& =\frac{\partial }{\partial y}2x\sin 2y=4x\cos 2y\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}& =\frac{\partial }{\partial x}2x^2\cos 2y=4x\cos 2y\end{array}$$

全微分

• 若函数 $z=f(x,y)$，则在某点处的偏导数连续，则函数在该点处可微，全微分是 $\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y$
• 多元函数可微，一定连续、偏导数存在，但反过来都不对
• 概念总结
  • 偏导数连续 $\Rightarrow$ 可微
  • 可微 $\Rightarrow$ 偏导数存在、函数连续
  • 可微 $\nRightarrow$ 偏导数连续
  • 偏导数存在、函数连续 $\nRightarrow$ 可微
  • 偏导数存在 $\nLeftrightarrow$ 函数连续

例 3

求函数 $z=xy+\frac{x}{y}$ 的全微分。

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$$\begin{array}{c}\frac{\partial z}{\partial x}=y+\frac{1}{y},\frac{\partial z}{\partial y}=x-\frac{x}{y^2}\\ \mathrm{d}z=\left(y+\frac{1}{y}\right)\mathrm{d}x+\left(x-\frac{x}{y^2}\right)\mathrm{d}y\end{array}$$

例 4

已知函数 $f(x,y)$ 的全微分为 $(x^2+axy)\mathrm{d}x+(x^2+3y^2)\mathrm{d}y$，求 $a$ 的值。

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从全微分可得 $f_x,f_y$，利用 $f_{xy}=f_{yx}$ 可解得 $a=2$。

方向导数

• 方向导数是沿某条射线 $l$ 方向的变化率。方向通常用单位向量 ${\mathbf{e}}_l=(\cos \alpha ,\cos \beta )$ 表示（其中 $\alpha ,\beta$ 是到两个坐标轴的方向角），有 $\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial f}{\partial y}\cos \beta$

• 在某点上方向导数取最大值的方向称为梯度，表达为 $\mathbf{grad}f(x_0,y_0)$ 或 $\nabla f(x_0,y_0)$，且有

  $$\nabla f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\mathbf{i}+f_y(x_0,y_0)\mathbf{j}$$

  其中 $\nabla =\frac{\partial }{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial }{\partial y}\mathbf{j}$ 称为（二维的）向量微分算子或 Nabla 算子，$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}$。

• 梯度与方向导数的关系：

  $$\begin{array}{rl}{\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0)}& =f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta \\ & ={\mathbf{e}}_l\cdot \nabla f(x_0,y_0)\\ & =|\nabla f(x_0,y_0)|\cdot \cos (\nabla f(x_0,\stackrel{\wedge }{y_0),{\mathbf{e}}_l})\end{array}$$

  这也表明了：

  • 在梯度方向上，方向导数最大，等于梯度的模
  • 在梯度的反方向上，方向导数最小，等于梯度模的相反数
  • 在垂直梯度方向上，方向导数为零

例 5

设 $z=x{y}^2+y{e}^{2x}$，点 $P(0,1)$，求：

1. $z$ 在 $P$ 处沿 $(-1,1)$ 方向的方向导数
2. 求 $z$ 在 $P$ 处方向导数的最大、最小值，并求出相应方向

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$$\begin{array}{rlrl}\frac{\partial f}{\partial x}& =y^2+2y\cdot e^{2x}& f_x(0,1)& =1+2=3\\ \frac{\partial f}{\partial y}& =2xy+e^{2x}& f_y(0,1)& =1\end{array}$$

又有 ${\mathbf{e}}_l=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$，故有

$${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(0,1)}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\times 3+\frac{1}{\sqrt{2}}\times 1=-\sqrt{2}$$

又有 $P$ 处的梯度 $\nabla f(-1,1)=3\mathbf{i}+\mathbf{j}=(3,1)$，故有

• 方向导数最大的方向为 ${\mathbf{e}}_l^{\prime }=\left(\frac{3}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$，大小为 $\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$
• 方向导数最大的方向为 ${\mathbf{e}}_l^{\prime \prime }=\left(-\frac{3}{\sqrt{10}},-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$，大小为 $-\sqrt{3^2+1^2}=-\sqrt{10}$