240923 每日一题

题目背景

$$y_n=\frac{y_{n+1}^2}{n}+y_{n+1},y_n>0$$

求：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n\ln n$$

证明数列 $\{y_n\}$ 单调有界

我们首先通过递推关系式证明 $\{y_n\}$ 是单调递减的。

将递推关系式改写为

$$y_n-y_{n+1}=\frac{y_{n+1}^2}{n}$$

可以得到：

$$y_n\ge y_{n+1}$$

这表明数列 $\{y_n\}$ 是单调递减的。

接下来我们证明数列 $\{y_n\}$ 有下界。因为 $y_n>0$ 对于所有 $n$ 成立，数列有下界 0。

因此，数列有下界 $0$，并且 $\{y_n\}$ 是单调递减的，结合单调有界原理，数列 $\{y_n\}$ 收敛。

证明数列极限必须为 0

现在我们假设数列的极限为 $L\ge 0$，即：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=L$$

我们假设 $L>0$ 的情况。如果 $L>0$，当 $n$ 越来越大时，递推关系式可以写为：

$$y_m=y_n-\sum _{i=n+1}^m\frac{y_{i+1}^2}{i}<y_n-y_{i+1}^2\sum _{i=n+1}^m\frac{1}{i}$$

$m\to +\infty$ 时，由于 $L>0$ 且 $\{{\sum }_n^{+\infty }\frac{1}{i}\}$ 可取任意大，因此如果 $L>0$，数列会持续递减，这与 $y_n$ 收敛到 $L>0$ 矛盾。

所以，唯一不产生矛盾的情况是 $L=0$。即：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=0$$

第四步：计算极限 ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n\ln n$

从数列 $\{y_n\}$ 收敛于 0 的结论出发，现在要计算 ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n\ln n$。我们已经知道数列 $\{y_n\}$ 逐渐趋近于 0，而 $\ln n$ 随着 $n$ 的增加是发散的。

为了确定 ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n\ln n$ 的具体值，我们可以猜测 $y_n$ 可能具有某种渐近形式。假设：

$$y_n\sim \frac{C}{\ln n}$$

其中 $C$ 为常数。

将该假设代入递推关系式有：

$$\frac{C}{\ln (n)}=\frac{{\left(\frac{C}{\ln (n+1)}\right)}^2}{n}+\frac{C}{\ln (n+1)}$$

化简得到：

$$\begin{array}{rl}C=& \underset{n\to +\infty }{\lim }\ln \frac{n+1}{n}\times n\times \frac{\ln (n+1)}{\ln n}\\ =& \underset{n\to +\infty }{\lim }\ln (1+\frac{1}{n}{)}^n\times \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (n+1)}{\ln n}\\ =& \ln e\times \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (n+1)}{\ln n}\\ =& \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (n+1)}{\ln n}\\ =& 1\end{array}$$

所以：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n\ln n=1$$

或采用 stolz 定理

在得到

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=0$$

的情况下，对于 $y_n\ln (n)=\frac{\ln (n)}{\frac{1}{y_n}}$,有着

（1）$\frac{1}{y_n}$ 单调递增；（2）$\frac{1}{y_n}$ 没有上界；（3）

$$\begin{array}{rl}& \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (n+1)-\ln n}{\frac{1}{y_{n+1}}-\frac{1}{y_n}}\\ =& \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (\frac{n+1}{n})}{\frac{y_{n+1}}{n{y}_n}}\\ =& \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (1+\frac{1}{n}{)}^n}{\frac{y_{n+1}}{y_n}}\\ =& \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (e)}{1-\frac{y_{n+1}^2}{n}}\\ =& 1\end{array}$$

所以

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n\ln n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (n)}{\frac{1}{y_n}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (n+1)-\ln n}{\frac{1}{y_{n+1}}-\frac{1}{y_n}}=1$$