240923 每日一题

y_{n} = \frac{y_{n + 1}^{2}}{n} + y_{n + 1}, y_{n} > 0

求：

lim_{n \to \infty} y_{n} \ln n

我们首先通过递推关系式证明 ${y_{n}}$ 是单调递减的。

将递推关系式改写为

y_{n} - y_{n + 1} = \frac{y_{n + 1}^{2}}{n}

可以得到：

y_{n} \geq y_{n + 1}

这表明数列 ${y_{n}}$ 是单调递减的。

接下来我们证明数列 ${y_{n}}$ 有下界。因为 $y_{n} > 0$ 对于所有 $n$ 成立，数列有下界 0。

因此，数列有下界 $0$ ，并且 ${y_{n}}$ 是单调递减的，结合单调有界原理，数列 ${y_{n}}$ 收敛。

现在我们假设数列的极限为 $L \geq 0$ ，即：

lim_{n \to \infty} y_{n} = L

我们假设 $L > 0$ 的情况。如果 $L > 0$ ，当 $n$ 越来越大时，递推关系式可以写为：

y_{m} = y_{n} - \sum_{i = n + 1}^{m} \frac{y_{i + 1}^{2}}{i} < y_{n} - y_{i + 1}^{2} \sum_{i = n + 1}^{m} \frac{1}{i}

$m \to + \infty$ 时，由于 $L > 0$ 且 ${\sum_{n}^{+ \infty} \frac{1}{i}}$ 可取任意大，因此如果 $L > 0$ ，数列会持续递减，这与 $y_{n}$ 收敛到 $L > 0$ 矛盾。

所以，唯一不产生矛盾的情况是 $L = 0$ 。即：

lim_{n \to \infty} y_{n} = 0

从数列 ${y_{n}}$ 收敛于 0 的结论出发，现在要计算 $lim_{n \to \infty} y_{n} \ln n$ 。我们已经知道数列 ${y_{n}}$ 逐渐趋近于 0，而 $\ln n$ 随着 $n$ 的增加是发散的。

为了确定 $lim_{n \to \infty} y_{n} \ln n$ 的具体值，我们可以猜测 $y_{n}$ 可能具有某种渐近形式。假设：

y_{n} \sim \frac{C}{\ln n}

其中 $C$ 为常数。

将该假设代入递推关系式有：

\frac{C}{\ln (n)} = \frac{{(\frac{C}{\ln (n + 1)})}^{2}}{n} + \frac{C}{\ln (n + 1)}

化简得到：

\begin{aligned} C = & lim_{n \to + \infty} \ln \frac{n + 1}{n} \times n \times \frac{\ln (n + 1)}{\ln n} \\ = & lim_{n \to + \infty} \ln (1 + \frac{1}{n})^{n} \times lim_{n \to + \infty} \frac{\ln (n + 1)}{\ln n} \\ = & \ln e \times lim_{n \to + \infty} \frac{\ln (n + 1)}{\ln n} \\ = & lim_{n \to + \infty} \frac{\ln (n + 1)}{\ln n} \\ = & 1 \end{aligned}

所以：

lim_{n \to \infty} y_{n} \ln n = 1

在得到

lim_{n \to \infty} y_{n} = 0

的情况下，对于 $y_{n} \ln (n) = \frac{\ln (n)}{\frac{1}{y_{n}}}$ , 有着

（1） $\frac{1}{y_{n}}$ 单调递增；（2） $\frac{1}{y_{n}}$ 没有上界；（3）

\begin{aligned} lim_{n \to + \infty} \frac{\ln (n + 1) - \ln n}{\frac{1}{y_{n + 1}} - \frac{1}{y_{n}}} \\ = & lim_{n \to + \infty} \frac{\ln (\frac{n + 1}{n})}{\frac{y_{n + 1}}{n y_{n}}} \\ = & lim_{n \to + \infty} \frac{\ln (1 + \frac{1}{n})^{n}}{\frac{y_{n + 1}}{y_{n}}} \\ = & lim_{n \to + \infty} \frac{\ln (e)}{1 - \frac{y_{n + 1}^{2}}{n}} \\ = & 1 \end{aligned}

所以

lim_{n \to \infty} y_{n} \ln n = lim_{n \to + \infty} \frac{\ln (n)}{\frac{1}{y_{n}}} = lim_{n \to + \infty} \frac{\ln (n + 1) - \ln n}{\frac{1}{y_{n + 1}} - \frac{1}{y_{n}}} = 1

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