奥斯特罗格拉茨基方法

定理

我们知道有理函数的积分是有理函数、对数函数与反正切函数的有限组合，而奥斯特罗格拉茨基方法是不经积分，直接求出其中的有理函数部分的一种方法。

对于有理真分式 $\frac{P (x)}{Q (x)}$

若 $Q (x) = (x - a)^{k} \dots (x^{2} + p x + q)^{l} \dots$

设

\begin{aligned} Q_{1} (x) & = (x - a)^{k - 1} \dots (x^{2} + p x + q)^{l - 1} \dots \\ Q_{2} (x) & = (x - a) \dots (x^{2} + p x + q) \dots \\ Q_{1} (x) Q_{2} (x) = Q (x) \end{aligned}

那么

\int \frac{P (x)}{Q (x)} d x = \frac{P_{1} (x)}{Q_{1} (x)} + \int \frac{P_{2} (x)}{Q_{2} (x)} d x

其中 $\frac{P_{1} (x)}{Q_{1} (x)} \frac{P_{2} (x)}{Q_{2} (x)}$ 均为有理真分数

$\frac{P_{1} (x)}{Q_{1} (x)}$ 为有理函数， $\int \frac{P_{2} (x)}{Q_{2} (x)} d x$ 为对数函数与反正切函数的有限组合。

$P_{1} (x), P_{2} (x)$ 可以通过求导确定， $Q_{1} (x)$ 实际上为 $Q (x), Q^{'} (x)$ 的最大公因式。

下面进入实战。

\int \frac{x^{3} + 1}{(x^{2} + 1)^{2}} d x

设

\int \frac{x^{3} + 1}{(x^{2} + 1)^{2}} d x = \frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \int \frac{C x + D}{x^{2} + 1} d x

求导得：

\frac{x^{3} + 1}{(x^{2} + 1)^{2}} = \frac{A (x^{2} + 1) - (A x + B) 2 x}{x^{2} + 1} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}

所以

\begin{aligned} x^{3} + 1 & = A (x^{2} + 1) - (A x + B) 2 x + (C x + D) (x^{2} + 1) \\ = C x^{3} - (A - D) x^{2} - (2 B - C) x + A + D \end{aligned}

对比系数得 $A = B = D = \frac{1}{2}, C = 1$

所以

\begin{aligned} \int \frac{x^{3} + 1}{(x^{2} + 1)^{2}} d x & = \frac{x + 1}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{1}{2} \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + 1} d x \\ = \frac{x + 1}{2 (x^{2} + 1)} + \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x + \frac{1}{2} \int \frac{d x}{x^{2} + 1} \\ = \frac{x + 1}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{1}{2} \ln | x^{2} + 1 | + \frac{1}{2} \arctan x + C \end{aligned}