奥斯特罗格拉茨基方法

定理

我们知道有理函数的积分是有理函数、对数函数与反正切函数的有限组合，而奥斯特罗格拉茨基方法是不经积分，直接求出其中的有理函数部分的一种方法。

对于有理真分式 $\frac{P(x)}{Q(x)}$

若 $Q(x)=(x-a{)}^k\cdots (x^2+px+q{)}^l\cdots$

设

$$\begin{array}{rl}{Q}_1(x)& =(x-a{)}^{k-1}\cdots (x^2+px+q{)}^{l-1}\cdots \\ Q_2(x)& =(x-a)\cdots (x^2+px+q)\cdots \\ & Q_1(x)Q_2(x)=Q(x)\end{array}$$

那么

$$\int \frac{P(x)}{Q(x)}\mathrm{d}x=\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}+\int \frac{P_2(x)}{Q_2(x)}\mathrm{d}x$$

其中 $\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}$ 均为有理真分数

$\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}$ 为有理函数，$\int \frac{P_2(x)}{Q_2(x)}\mathrm{d}x$ 为对数函数与反正切函数的有限组合。

$P_1(x),P_2(x)$ 可以通过求导确定，$Q_1(x)$ 实际上为 $Q(x),Q^{\prime }(x)$ 的最大公因式。

下面进入实战。

例题

求

$$\int \frac{x^3+1}{(x^2+1{)}^2}\mathrm{d}x$$

设

$$\int \frac{x^3+1}{(x^2+1{)}^2}\mathrm{d}x=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\int \frac{Cx+D}{x^2+1}\mathrm{d}x$$

求导得：

$$\frac{x^3+1}{(x^2+1{)}^2}=\frac{A(x^2+1)-(Ax+B)2x}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+1}$$

所以

$$\begin{array}{rl}{x}^3+1& =A(x^2+1)-(Ax+B)2x+(Cx+D)(x^2+1)\\ & =C{x}^3-(A-D)x^2-(2B-C)x+A+D\end{array}$$

对比系数得 $A=B=D=\frac{1}{2},C=1$

所以

$$\begin{array}{rl}\int \frac{x^3+1}{(x^2+1{)}^2}\mathrm{d}x& =\frac{x+1}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}\int \frac{2x+1}{x^2+1}\mathrm{d}x\\ & =\frac{x+1}{2(x^2+1)}+\int \frac{x}{x^2+1}\mathrm{d}x+\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2+1}\\ & =\frac{x+1}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}\ln |x^2+1|+\frac{1}{2}\arctan x+C\end{array}$$