4.1 不定积分的概念与性质

恭喜你，解锁新角色！

$$\int$$

原函数与不定积分的概念

原函数：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，若存在函数 $F(x)$，满足对于任意 $x\in I$，都有

$$\begin{array}{c}{F}^{\prime }(x)=f(x)\\ 即\mathrm{d}F(x)=f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

则称函数 $F(x)$ 就称为 $f(x)$ 的一个原函数。

不定积分：在区间 $I$ 上函数 $f(x)$ 的所有原函数（集合）称为 $f(x)$ 的不定积分，记为：

$$\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$$

其中 $\int$ 称为积分号，$x$ 称为积分变量，$f(x)$ 称为被积函数，$f(x)\mathrm{d}x$ 称为积分表达式，$C$ 为积分常数。

CAUTION

一定不要漏掉积分常数 $C$！
一定不要漏掉积分常数 $C$！
一定不要漏掉积分常数 $C$！

运算法则

与求导的互逆性

$f(x)$ 在区间 $I$ 上，若有 $F^{\prime }(x)=f(x)$，那么，对任意常数 $C$ , 显然也有

$${\left[F(x)+C\right]}^{\prime }=f(x)$$

这也就说明了只要 $f(x)$ 的原函数存在，那么一定有无穷多个；且这无穷多个原函数的图像构成一个平行曲线系。

可平移性

如果在区间 $I$ 上 $F(x)$，$G(x)$ 均为 $f(x)$ 的原函数，则有

$$F(x)-G(x)=C$$

这是由于

$$[F(x)-G(x){]}^{\prime }=F^{\prime }(x)-G^{\prime }(x)=f(x)-f(x)=0$$

而只有常数的导数为 $0$，于是

$$F(x)-G(x)=C$$

值得注意的是：这里的 $C$ 并非任意值，而由 $F(x),G(x)$ 确定。

NOTE

在上述基础上，我们引入不定积分的第二定义：

在区间 $I$ 上，函数 $f(x)$ 的带有任意常数项的原函数称为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的不定积分，记作

$$\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$$

由此定义可知，若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数，那么 $F(x)+C$ 就是 $f(x)$ 的不定积分。

线性性

可加

设 $f(x),g(x)$ 的原函数存在，则

$$\int [f(x)\pm g(x)]\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x\pm \int g(x)\mathrm{d}x$$

数乘

设 $f(x)$ 的原函数存在，$k$ 为非零常数，则有

$$\int kf(x)\mathrm{d}x=k\int f(x)\mathrm{d}x$$

例 1

求：

$$\int \sqrt{x}(x^2-5)\mathrm{d}x$$

解：

$$\begin{array}{rl}原式& =\int (x^{\frac{5}{2}}-5x^{\frac{1}{2}})\mathrm{d}x\\ & =\int x^{\frac{5}{2}}\mathrm{d}x-5\int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x\end{array}$$

此时考虑，哪两个函数求导会得到 $x^{\frac{5}{2}}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$？

我们知道

$$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$$

令 $a=n-1$，就有

$${\left(\frac{x^{a+1}}{a+1}\right)}^{\prime }=x^a$$

所以有了

$$\int x^a=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$$

代入，有

$$\begin{array}{rl}原式& =\int x^{\frac{5}{2}}\mathrm{d}x-5\int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x\\ & =\frac{2}{7}{x}^{\frac{7}{2}}+5\cdot \frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C\\ & =\frac{2}{7}{x}^{\frac{7}{2}}-\frac{10}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C\end{array}$$

WARNING

一旦整个式子中的积分符号 $\int$ 全没了，就要把 $C$ 加上了！

例 2

求：

$$\int \left(2e^x+\frac{3}{x}\right)\mathrm{d}x$$

解：

$$\begin{array}{rl}原式& =2\int e^x\mathrm{d}x+3\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x\end{array}$$

$e^x$ 的导函数是其本身，这没问题。问题在于，谁的导数等于 $\frac{1}{x}$？

我们知道 $\ln x$ 的导函数是 $\frac{1}{x}$，但是这里 $x>0$。如果 $x<0$ 的话，有

$$[\ln (-x){]}^{\prime }=\frac{1}{-x}\cdot (-1)$$

因此，$\ln (-x)$ 的导函数也是 $\frac{1}{x}$。因此有

$$\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln |x|+C$$

所以有

$$\begin{array}{rl}原式& =2\int e^x\mathrm{d}x+3\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x\\ & =2e^x+3\ln |x|\end{array}$$

由此，我们可以总结出常见函数的不定积分。

常用积分公式

给你啦，呐

基本盘 1

$$\begin{array}{rl}& \int k\mathrm{d}x=kx+C\\ & \int x^a\mathrm{d}x=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C(a\ne -1)\\ & \int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln |x|+C\\ & \int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\arctan x+C\\ & \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin x+C\\ & \int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C(a>0,a\ne 1)\end{array}$$

基本盘 2

$$\begin{array}{rl}& \int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C\\ & \int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C\\ & \int {\sec }^{2}x\mathrm{d}x=\tan x+C\\ & \int {\csc }^{2}x\mathrm{d}x=-\cot x+C\\ & \int \sec x\tan x\mathrm{d}x=\sec x+C\\ & \int \csc x\cot x\mathrm{d}x=-\csc x+C\\ & \int \sec x\mathrm{d}x=\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C\\ & \int \csc x\mathrm{d}x=\ln \left|\csc x-\cot x\right|+C\end{array}$$

TIP

上面的公式每两个一组，结果中是「正」就是正号，是「余」就是负号。

进阶组

$$\begin{array}{rl}& \int \tan x\mathrm{d}x=-\ln \left|\cos x\right|+C\\ & \int \cot x\mathrm{d}x=\ln \left|\sin x\right|+C\\ & \int \frac{1}{x^2+a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C(a>0)\\ & \int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\mathrm{d}x=\ln \left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C(a>0)\\ & \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin \frac{x}{a}+C(a>0)\\ & \int \frac{1}{a^2-x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C(a>0)\end{array}$$

例 3

求不定积分

$$\int \frac{1}{x^4(x^2+1)}\mathrm{d}x$$

TIP

上面的积分表里找不到这个形式。在不定积分中第一个也是最重要的思想是「分项」。直接求不好求，我们可以通过恒等变换将其拆成几项求解。

分式中，分项的通法：抄分母，加一个减一个。

解：

$$\begin{array}{rl}原式& =\int \frac{1+x^2-x^2}{x^4(x^2+1)}\mathrm{d}x\\ & =\int \frac{(1+x^2)-x^2}{x^4(x^2+1)}\mathrm{d}x\\ & =\int \frac{1}{x^4}\mathrm{d}x-\int \frac{1}{x^2(x^2+1)}\mathrm{d}x\\ & =\int \frac{1}{x^4}\mathrm{d}x-\int \frac{1+x^2-x^2}{x^2(x^2+1)}\mathrm{d}x\\ & =\int \frac{1}{x^4}\mathrm{d}x-\int \frac{1}{x^2}\mathrm{d}x+\int \frac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x\\ & =-\frac{1}{3}{x}^{-3}+\frac{1}{x}+\arctan x+C\end{array}$$

例 4

求不定积分

$$\int {\tan }^{2}x$$

TIP

$\tan x$ 不是一个好的被积函数。出现 ${\tan }^{2}x$ 时，有一个重要的公式：

$${\tan }^{2}x+1={\sec }^{2}x$$

这个公式来源于 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$，两边同除以 ${\cos }^{2}x$ 即可得到。

解：

$$\begin{array}{rl}原式& =\int ({\sec }^{2}x-1)\mathrm{d}x\\ & =\tan x-x+C\end{array}$$

例 5

求不定积分

$$\int {\cos }^2\frac{x}{2}\mathrm{d}x$$

TIP

公式中的 $\sin x$ 与 $\cos x$ 都是一次的，所以我们考虑升角降次。

另外，三角函数中的升角降次与升次降角相关公式在求解不定积分时会非常常用。

解：

$$\begin{array}{rl}原式& =\int \frac{1+\cos x}{2}\mathrm{d}x\\ & =\int \frac{1}{2}\mathrm{d}x+\frac{1}{2}\int \cos x\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\sin x+C\end{array}$$

可确定的 $C$

有时在实际问题中，$C$ 的值是可以确定的。

例 6

设曲线经过点 $(1,2)$，且其上任一点处切线的斜率等于这点横坐标的倒数，求该曲线方程。

解 由题意

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}$$

于是

$$y=\int \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x=\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln x+C$$

而由于曲线经过点 $(1,2)$，所以

$$2=\ln 1+C\Rightarrow C=2$$

于是得到曲线方程 $y=\ln x+2$。