240921 每日一题

要证明

$$S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots$$

的极限存在，并且求出极限，考虑使用泰勒级数的知识来完成这一证明。

步骤 1: 级数收敛性

这个级数是交错级数。根据莱布尼茨判别法（交错级数判别法），如果满足以下两个条件，交错级数就收敛：

1. 数列项 $\frac{1}{n}$ 单调递减。
2. 数列项 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$。

显然，这两个条件都成立，因此该交错级数收敛。

步骤 2: 函数展开

首先，考虑函数 $f(x)=\ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开：

$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n$$

该展开式在 $-1<x\le 1$ 内收敛。令 $x=1$，我们可以得到：

$$\ln (1+1)=\ln (2)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots$$

也就是说，

$$\ln (2)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$$

结论

因此我们可以得出结论：

$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots =\ln (2)$$

这是该级数的极限。