3.4 泰勒公式

引入

目标：找到一个高精确度的表达式来近似表达一个函数，使得其与原函数之差比某个给定的无穷小更高阶。

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有 $n$ 阶导数，试找出一个关于 $x-x_0$ 的 $n$ 次多项式

$$p_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n$$

来近似表达 $f(x)$，要求使得 $p_n(x)$ 与 $f(x)$ 之差是当 $x\to x_0$ 时比 $(x-x_0{)}^n$ 高阶的无穷小。

假设 $p_n(x)$ 在 $x_0$ 处的函数值及它的直到 $n$ 阶导数在 $x_0$ 处的值依次与 $f(x_0),f^{\prime }(x_0),\cdots ,f^{(n)}(x_0)$ 相等，即满足：

$$\begin{array}{rl}{p}_n(x_0)=f(x_0)& \Rightarrow a_0=f(x_0)\\ p_n^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)& \Rightarrow a_1=\frac{f^{\prime }(x_0)}{1}\\ p_n^{″}(x_0)=f^{″}(x_0)& \Rightarrow a_2=\frac{f^{″}(x_0)}{2!}\\ p_n^{‴}(x_0)=f^{‴}(x_0)& \Rightarrow a_3=\frac{f^{‴}(x_0)}{3!}\\ & \cdots \\ p_n^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0)& \Rightarrow a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\end{array}$$

于是我们有了泰勒定理。

泰勒中值定理

泰勒中值定理 1

如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有 $n$ 阶导数，那么存在 $x_0$ 的一个邻域，对于该邻域内的任一 $x$，有

$$\begin{array}{r}f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n\\ +R_n(x)\end{array}$$

其中 $R_n(x)=o[(x-x_0{)}^n]$，称为佩亚诺余项。

上面的公式称为带有佩亚诺余项的 $n$ 阶泰勒公式，该多项式的前 $n-1$ 项（即不含 $R_n(x)$）称为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处（或按 $x-x_0$ 的幂展开）的 $n$ 次泰勒多项式。

但是由 $R_n(x)$ 的形式无法估算误差的大小，所以有了另一种形式。

泰勒中值定理 2

如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域 $U(x_0)$ 内具有 $n+1$ 阶导数，那么 $\mathrm{\forall }x\in U(x_0)$，有

$$\begin{array}{r}f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n\\ +R_n(x)\end{array}$$

其中

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$$

这里 $\xi$ 是 $x_0$ 与 $x$ 之间的某个值。$R_n$ 称为拉格朗日余项。

TIP

由于 $x$ 与 $x_0$ 的大小关系未知，因此无法用符号写出 $x<\xi <x_0$ 或者 $x_0<\xi <x$ 之类，只能用文字表达。

上面的公式称为带有拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式。

该定理的证明，实质上就是 3.1 中的最后一道例题。

TIP

两个泰勒中值定理的主要区别：

1. 成立条件不同，中值定理 2 对 $f(x)$ 的可导性要求更高；
2. $x$ 的取值范围不同，中值定理 1 需满足 $x\to x_0$，只适用于求极限问题，而中值定理 2 中 $x$ 可在符合条件的区间 $[a,b]$ 上任取，甚至能取到任意实数，因此中值定理 2 在证明题和近似计算问题中更常用；
3. 余项 $R_n(x)$ 的形式不同，佩亚诺余项便于求极限，拉格朗日余项能具体估算近似误差的大小。

麦克劳林公式

取 $x_0=0$，我们可以得到：

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}+R_n(x)$$

该公式称为麦克劳林公式。

误差估计式相应地变为

$$|R_n|\le \frac{M}{(n+1)!}|x{|}^{n+1}$$

常用展开式

WARNING

下面五个公式要求牢记。

$$\begin{array}{rl}{e}^x& =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+R_n(x)\\ \ln (1+x)& =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots +\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^n}{n}+R_n(x)\\ \sin x& =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots +\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}+\{\begin{array}{l}{R}_{2n+1}(x)\\ R_{2n+2}(x)\end{array}\\ \cos x& =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots +\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}+\{\begin{array}{l}{R}_{2n}(x)\\ R_{2n+1}(x)\end{array}\\ (1+x{)}^{\alpha }& =1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+R_n(x)\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{0})x^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{1})x^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{2})x^2+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n+R_n(x)(n\le \alpha )\end{array}$$

其中 $\sin x$ 展开式的余项可以是 $R_{2n+1}(x)$，也可以是 $R_{2n+2}(x)$，根据实际情况选用。$\cos x$ 同理。

最后一个公式中 $\alpha \in \mathbf{R}$，有几个常见形式应当记忆：

$$\begin{array}{rl}\alpha & =-1:\\ & \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots +(-1{)}^n{x}^n+R_n(x)\\ & \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots +x^n+R_n(x)\\ \alpha & =\frac{1}{2}:\\ & \sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+R_2(x)\\ \alpha & =\frac{1}{3}:\\ & \sqrt[3]{1+x}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}{x}^2+R_2(x)\end{array}$$

下面三个公式了解即可。

$$\begin{array}{rl}\arcsin x& =x+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{3}{40}{x}^5+\frac{5}{112}{x}^7+\cdots \\ \tan x& =x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+\frac{17}{315}{x}^7+\cdots \\ \sec x& =1+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{5}{24}{x}^4+\frac{61}{720}{x}^6+\cdots \end{array}$$

实际上，这三个拓展公式已经在常见等价无穷小处得到体现。知道阶数分布即可，前面的常数推导这里不展开。

求泰勒展开式

例 1

写出 $f(x)=x^2\ln x$ 在 $x=1$ 处带有拉格朗日余项的二阶泰勒公式。

TIP

求拉格朗日余项的二阶泰勒公式：展到 2 阶，余次 3 阶。

解 先写出对应阶数的泰勒公式

$$f(x)=f(1)+f^{\prime }(1)(x-1)+\frac{f^{″}(1)}{2!}(x-1{)}^2+\frac{f^{‴}(\xi )}{3!}(x-1{)}^3$$

计算各阶导数

$$\begin{array}{rl}f(1)& =0\\ f^{\prime }(1)& =(2\ln x+x){|}_{x=1}=1\\ f^{″}(1)& =(2\ln x+3){|}_{x=1}=3\\ f^{‴}(\xi )& ={\frac{2}{x}|}_{x=\xi }=\frac{2}{\xi }\end{array}$$

因此，其展开式为

$$f(x)=(x-1)+\frac{3}{2}(x-1{)}^2+\frac{1}{3\xi }(x-1{)}^3$$

其中，$\xi$ 在 $1$ 和 $x$ 之间。

例 2

写出 $f(x)=x{e}^x$ 带有佩亚诺余项的 $n$ 阶麦克劳林公式。

法 1：间接法

我们直接利用背过的 $e^x$ 展开式。

$$\begin{array}{rl}x{e}^x& =x[1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n}+o(x^n)]\\ & =x+x^2+\frac{x^3}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{(n-1)!}+o(x^n)\end{array}$$

法 2：直接法

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}+o(x^n)$$

根据莱布尼兹公式：

$$\begin{array}{rl}{f}^{(n)}(x)& =(x{e}^x{)}^n\\ & =x(e^x{)}^{(n)}+{\mathrm{C}}_n^1\cdot 1\cdot (e^x{)}^{(n-1)}\\ & =x{e}^x+n{e}^x\end{array}$$

故有 $f^{(n)}(0)=n$。代入公式有

$$\begin{array}{rl}f(x)& =f(0)+x+\frac{2}{2!}{x}^2+\frac{3}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{n}{n!}{x}^n+o(x^n)\\ & =x+x^2+\frac{x^3}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{(n-1)!}+o(x^n)\end{array}$$

例 3

写出 $f(x)=\ln x$ 按 $(x-2)$ 的幂展开的带有佩亚诺余项的 $n$ 阶泰勒公式。

法 1：间接法

$$\begin{array}{rl}\ln x& =\ln [2+(x-2)]\\ & =\ln \left[2(1+\frac{x-2}{2})\right]\\ & =\ln 2+\ln (1+\frac{x-2}{2})\end{array}$$

又有

$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots +\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n+o(x^n)$$

代入可得

$$\begin{array}{rl}\ln x& =\ln 2+\ln (1+\frac{x-2}{2})\\ & =\ln 2+\frac{x-2}{2}-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-2}{2}\right)}^2+\frac{1}{3}{\left(\frac{x-2}{2}\right)}^3+\cdots +\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{\left(\frac{x-2}{2}\right)}^n+o[(x-2{)}^n]\\ & =\ln 2+\frac{1}{2}(x-2)-\frac{1}{3\cdot 2^3}(x-2{)}^3+\cdots +\frac{(-1{)}^{n-1}}{n\cdot 2^n}(x-2{)}^n+o[(x-2{)}^n]\end{array}$$

法 2：直接法，略。