3.4 泰勒公式

引入

目标：找到一个高精确度的表达式来近似表达一个函数，使得其与原函数之差比某个给定的无穷小更高阶。

设 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处具有 $n$ 阶导数，试找出一个关于 $x - x_{0}$ 的 $n$ 次多项式

p_{n} (x) = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + a_{2} (x - x_{0})^{2} + \dots + a_{n} (x - x_{0})^{n}

来近似表达 $f (x)$ ，要求使得 $p_{n} (x)$ 与 $f (x)$ 之差是当 $x \to x_{0}$ 时比 $(x - x_{0})^{n}$ 高阶的无穷小。

假设 $p_{n} (x)$ 在 $x_{0}$ 处的函数值及它的直到 $n$ 阶导数在 $x_{0}$ 处的值依次与 $f (x_{0}), f^{'} (x_{0}), \dots, f^{(n)} (x_{0})$ 相等，即满足：

p_{n} (x_{0}) = f (x_{0}) p_{n}^{'} (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) p_{n}^{''} (x_{0}) = f^{''} (x_{0}) p_{n}^{'''} (x_{0}) = f^{'''} (x_{0}) p_{n}^{(n)} (x_{0}) = f^{(n)} (x_{0}) \Rightarrow a_{0} = f (x_{0}) \Rightarrow a_{1} = \frac{f ^{'} ( x _{0} )}{1} \Rightarrow a_{2} = \frac{f ^{''} ( x _{0} )}{2 !} \Rightarrow a_{3} = \frac{f ^{'''} ( x _{0} )}{3 !} \dots \Rightarrow a_{n} = \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !}

于是我们有了泰勒定理。

泰勒中值定理

泰勒中值定理 1

如果函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处具有 $n$ 阶导数，那么存在 $x_{0}$ 的一个邻域，对于该邻域内的任一 $x$ ，有

f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f ^{''} ( x _{0} )}{2 !} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n} + R_{n} (x)

其中 $R_{n} (x) = o [(x - x_{0})^{n}]$ ，称为佩亚诺余项。

上面的公式称为带有佩亚诺余项的 $n$ 阶泰勒公式，该多项式的前 $n - 1$ 项（即不含 $R_{n} (x)$ ）称为函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处（或按 $x - x_{0}$ 的幂展开）的 $n$ 次泰勒多项式。

但是由 $R_{n} (x)$ 的形式无法估算误差的大小，所以有了另一种形式。

泰勒中值定理 2

如果函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某个邻域 $U (x_{0})$ 内具有 $n + 1$ 阶导数，那么 $\forall x \in U (x_{0})$ ，有

f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f ^{''} ( x _{0} )}{2 !} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n} + R_{n} (x)

其中

R_{n} (x) = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} (x - x_{0})^{n + 1}

这里 $ξ$ 是 $x_{0}$ 与 $x$ 之间的某个值。 $R_{n}$ 称为拉格朗日余项。

TIP

由于 $x$ 与 $x_{0}$ 的大小关系未知，因此无法用符号写出 $x < ξ < x_{0}$ 或者 $x_{0} < ξ < x$ 之类，只能用文字表达。

上面的公式称为带有拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式。

该定理的证明，实质上就是 3.1 中的最后一道例题。

TIP

两个泰勒中值定理的主要区别：

成立条件不同，中值定理 2 对 $f (x)$ 的可导性要求更高；
$x$ 的取值范围不同，中值定理 1 需满足 $x \to x_{0}$ ，只适用于求极限问题，而中值定理 2 中 $x$ 可在符合条件的区间 $[a, b]$ 上任取，甚至能取到任意实数，因此中值定理 2 在证明题和近似计算问题中更常用；
余项 $R_{n} (x)$ 的形式不同，佩亚诺余项便于求极限，拉格朗日余项能具体估算近似误差的大小。

麦克劳林公式

取 $x_{0} = 0$ ，我们可以得到：

f (x) = f (0) + f^{'} (0) + \dots + \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} + R_{n} (x)

该公式称为麦克劳林公式。

误差估计式相应地变为

∣ R_{n} ∣ \leq \frac{M}{( n + 1 )!} ∣ x ∣^{n + 1}

常用展开式

WARNING

下面五个公式要求牢记。

e^{x} ln (1 + x) sin x cos x (1 + x)^{α} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{3}}{3 !} + \dots + \frac{x ^{n}}{n !} + R_{n} (x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{4}}{4} + \dots + \frac{( - 1 ) ^{n - 1} x ^{n}}{n} + R_{n} (x) = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \frac{x ^{7}}{7 !} + \dots + \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!} + {R_{2 n + 1} (x) R_{2 n + 2} (x) = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \frac{x ^{6}}{6 !} + \dots + \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n}}{( 2 n )!} + {R_{2 n} (x) R_{2 n + 1} (x) = 1 + α x + \frac{α ( α - 1 )}{2 !} x^{2} + \dots + \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !} x^{n} + R_{n} (x) = (0 α) x^{0} + (1 α) x^{1} + (2 α) x^{2} + \dots + (n α) x^{n} + R_{n} (x) (n \leq α)

其中 $sin x$ 展开式的余项可以是 $R_{2 n + 1} (x)$ ，也可以是 $R_{2 n + 2} (x)$ ，根据实际情况选用。 $cos x$ 同理。

最后一个公式中 $α \in R$ ，有几个常见形式应当记忆：

α α α = - 1 : \frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^{2} - x^{3} + \dots + (- 1)^{n} x^{n} + R_{n} (x) \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{n} + R_{n} (x) = \frac{1}{2} : 1 + x = 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^{2} + R_{2} (x) = \frac{1}{3} : 3 1 + x = 1 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} x^{2} + R_{2} (x)

下面三个公式了解即可。

arcsin x tan x sec x = x + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{40} x^{5} + \frac{5}{112} x^{7} + \dots = x + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{15} x^{5} + \frac{17}{315} x^{7} + \dots = 1 + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{5}{24} x^{4} + \frac{61}{720} x^{6} + \dots

实际上，这三个拓展公式已经在常见等价无穷小处得到体现。知道阶数分布即可，前面的常数推导这里不展开。

求泰勒展开式

例 1

写出 $f (x) = x^{2} ln x$ 在 $x = 1$ 处带有拉格朗日余项的二阶泰勒公式。

TIP

求拉格朗日余项的二阶泰勒公式：展到 2 阶，余次 3 阶。

解先写出对应阶数的泰勒公式

f (x) = f (1) + f^{'} (1) (x - 1) + \frac{f ^{''} ( 1 )}{2 !} (x - 1)^{2} + \frac{f ^{'''} ( ξ )}{3 !} (x - 1)^{3}

计算各阶导数

f (1) f^{'} (1) f^{''} (1) f^{'''} (ξ) = 0 = (2 ln x + x)_{x = 1} = 1 = (2 ln x + 3)_{x = 1} = 3 = \frac{2}{x}_{x = ξ} = \frac{2}{ξ}

因此，其展开式为

f (x) = (x - 1) + \frac{3}{2} (x - 1)^{2} + \frac{1}{3 ξ} (x - 1)^{3}

其中， $ξ$ 在 $1$ 和 $x$ 之间。

例 2

写出 $f (x) = x e^{x}$ 带有佩亚诺余项的 $n$ 阶麦克劳林公式。

法 1：间接法

我们直接利用背过的 $e^{x}$ 展开式。

x e^{x} = x [1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots + \frac{x ^{n}}{n} + o (x^{n})] = x + x^{2} + \frac{x ^{3}}{2 !} + \dots + \frac{x ^{n}}{( n - 1 )!} + o (x^{n})

法 2：直接法

f (x) = f (0) + f^{'} (0) + \dots + \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} + o (x^{n})

根据莱布尼兹公式：

f^{(n)} (x) = (x e^{x})^{n} = x (e^{x})^{(n)} + C_{n}^{1} \cdot 1 \cdot (e^{x})^{(n - 1)} = x e^{x} + n e^{x}

故有 $f^{(n)} (0) = n$ 。代入公式有

f (x) = f (0) + x + \frac{2}{2 !} x^{2} + \frac{3}{3 !} x^{3} + \dots + \frac{n}{n !} x^{n} + o (x^{n}) = x + x^{2} + \frac{x ^{3}}{2 !} + \dots + \frac{x ^{n}}{( n - 1 )!} + o (x^{n})

例 3

写出 $f (x) = ln x$ 按 $(x - 2)$ 的幂展开的带有佩亚诺余项的 $n$ 阶泰勒公式。

法 1：间接法

ln x = ln [2 + (x - 2)] = ln [2 (1 + \frac{x - 2}{2})] = ln 2 + ln (1 + \frac{x - 2}{2})

又有

ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} + \dots + \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} x^{n} + o (x^{n})

代入可得

ln x = ln 2 + ln (1 + \frac{x - 2}{2}) = ln 2 + \frac{x - 2}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x - 2}{2})^{2} + \frac{1}{3} (\frac{x - 2}{2})^{3} + \dots + \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} (\frac{x - 2}{2})^{n} + o [(x - 2)^{n}] = ln 2 + \frac{1}{2} (x - 2) - \frac{1}{3 \cdot 2 ^{3}} (x - 2)^{3} + \dots + \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n \cdot 2 ^{n}} (x - 2)^{n} + o [(x - 2)^{n}]

法 2：直接法，略。

3.4 泰勒公式 ​

引入 ​

泰勒中值定理 ​

泰勒中值定理 1 ​

泰勒中值定理 2 ​

麦克劳林公式 ​

常用展开式 ​

求泰勒展开式 ​