10.8 场论初步

NOTE

只考概念计算，不考应用。

通量

设 $\mathit{A}(x,y,z)=(P,Q,R)$，$\Sigma$ 为其中的一个面，法向量为 $\mathit{n}$。则定义通量（流量）：

$${\displaystyle {\iint }_{\Sigma }\mathit{A}\cdot \mathit{n}\mathrm{d}S}$$

散度与旋度

设 $\mathit{A}(x,y,z)=(P,Q,R)$，定义：

• 散度 $\mathrm{div}\mathit{A}=\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{A}={\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}}+{\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial y}}+{\displaystyle \frac{\partial R}{\partial z}}$
  • 若散度为 $0$，则根据高斯公式，沿任意闭合曲面的积分为 $0$。
• 旋度 $\mathbf{rot}\mathit{A}=\mathrm{\nabla }\times \mathit{A}=\left|\begin{array}{ccc}\mathit{i}& \mathit{j}& \mathit{k}\\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}& {\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}& {\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}}\\ P& Q& R\end{array}\right|$
  • 若旋度为 $0$，根据斯托克斯公式，沿任意闭合曲线的积分为 $0$。

例

有向量场 $\mathit{u}(x,y,z)=x{y}^2\mathit{i}+y{e}^z\mathit{j}+x\ln (1+z^2)\mathit{k}$，求向量场在 $P(1,1,0)$ 处的散度和旋度。

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散度：

$$\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x}=y^2\frac{\partial }{\partial y}=e^z\frac{\partial }{\partial z}=\frac{2xz}{2+z^2}\\ \mathrm{\nabla }\cdot \mathit{u}=y^2+e^z+\frac{2xz}{2+z^2}=1+1+0=2\end{array}$$

旋度：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }\times \mathit{u}& =\left|\begin{array}{ccc}\mathit{i}& \mathit{j}& \mathit{k}\\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}& {\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}& {\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}}\\ x{y}^2& y{e}^z& x\ln (1+z^2)\end{array}\right|\\ & =-y{e}^x\mathit{i}-\ln (1+z^2)\mathit{j}-2xy\mathit{k}\\ & =-\mathit{i}-2\mathit{k}=(-1,0,-2)\end{array}$$