10.8 场论初步

NOTE

只考概念计算，不考应用。

通量

设 $A (x, y, z) = (P, Q, R)$ ， $Σ$ 为其中的一个面，法向量为 $n$ 。则定义通量（流量）：

\iint_{Σ} A \cdot n d S

设 $A (x, y, z) = (P, Q, R)$ ，定义：

散度 $div A = \nabla \cdot A = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
- 若散度为 $0$ ，则根据高斯公式，沿任意闭合曲面的积分为 $0$ 。
旋度 $rot A = \nabla \times A = i \frac{\partial}{\partial x} P j \frac{\partial}{\partial y} Q k \frac{\partial}{\partial z} R$
- 若旋度为 $0$ ，根据斯托克斯公式，沿任意闭合曲线的积分为 $0$ 。

例

有向量场 $u (x, y, z) = x y^{2} i + y e^{z} j + x ln (1 + z^{2}) k$ ，求向量场在 $P (1, 1, 0)$ 处的散度和旋度。

散度：

\frac{\partial}{\partial x} = y^{2} \frac{\partial}{\partial y} = e^{z} \frac{\partial}{\partial z} = \frac{2 x z}{2 + z ^{2}} \nabla \cdot u = y^{2} + e^{z} + \frac{2 x z}{2 + z ^{2}} = 1 + 1 + 0 = 2

旋度：

\nabla \times u = i \frac{\partial}{\partial x} x y^{2} j \frac{\partial}{\partial y} y e^{z} k \frac{\partial}{\partial z} x ln (1 + z^{2}) = - y e^{x} i - ln (1 + z^{2}) j - 2 x y k = - i - 2 k = (- 1, 0, - 2)