8.2 曲面与曲线

旋转曲面

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴
方程变换规律：绕谁旋转谁不变，另一个变成 $\pm \sqrt{?^{2} + ?^{2}}$
- $f (y, z) = 0$ 绕 $z$ 轴旋转一周，得到 $f (\pm \sqrt{x^{2} + y^{2}}, z) = 0$
- $f (y, z) = 0$ 绕 $y$ 轴旋转一周，得到 $f (y, \pm \sqrt{x^{2} + z^{2}}) = 0$

例 1

将 $x O y$ 上的双曲线 $4 x^{2} - 9 y^{2} = 36$ 分别绕 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转一周，求所得曲面方程。

两条相交直线旋转而成。

z^{2} = a^{2} (x^{2} + y^{2})

双曲线沿着两支之间的对称轴旋转而成。

\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

双曲线沿着穿过两支的对称轴旋转而成。

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2} + z^{2}}{c^{2}} = 1

例 2

求曲线 ${\begin{cases} y^{2} + z^{2} = x \\ x + 2 y - z = 0 \end{cases}$ 在 $y O z$ 平面和 $x O y$ 平面上的投影方程。

在 $y O z$ 平面的投影，要将 $x$ 消去，将两式相加得到 $y^{2} + z^{2} + 2 y - z = 0$ ，故有投影方程

{\begin{cases} y^{2} + z^{2} + 2 y - z = 0 \\ x = 0 \end{cases}

在 $x O y$ 平面的投影，要将 $z$ 消去，有投影方程

{\begin{cases} y^{2} + (x + 2 y)^{2} = x \\ z = 0 \end{cases}

本例中的图形如下：