8.2 曲面与曲线

旋转曲面

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴
方程变换规律：绕谁旋转谁不变，另一个变成 $\pm \sqrt{?^{2} + ?^{2}}$
- $f (y, z) = 0$ 绕 $z$ 轴旋转一周，得到 $f (\pm \sqrt{x^{2} + y^{2}}, z) = 0$
- $f (y, z) = 0$ 绕 $y$ 轴旋转一周，得到 $f (y, \pm \sqrt{x^{2} + z^{2}}) = 0$

例 1

将 $x O y$ 上的双曲线 $4 x^{2} - 9 y^{2} = 36$ 分别绕 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转一周，求所得曲面方程。

绕 $x$ 轴： $4 x^{2} - 9 (y^{2} + z^{2}) = 36$
绕 $y$ 轴： $4 (x^{2} + z^{2}) - 9 y^{2} = 36$

三种旋转曲面：

相交直线旋转：圆锥面
双曲线沿着两支之间的对称轴旋转：旋转单叶双曲线
双曲线沿另一条对称轴旋转：旋转双叶双曲线

曲线

曲线可用两个曲面的交线表示，也可以用参数方程表示。
要求曲线在某个坐标平面的投影，只需消掉不包括在这个平面的字母。

例 2

求曲线 ${\begin{cases} y^{2} + z^{2} = x \\ x + 2 y - z = 0 \end{cases}$ 在 $y O z$ 平面和 $x O y$ 平面上的投影方程。

在 $y O z$ 平面的投影，要将 $x$ 消去，将两式相加得到 $y^{2} + z^{2} + 2 y - z = 0$ ，故有投影方程

{\begin{cases} y^{2} + z^{2} + 2 y - z = 0 \\ x = 0 \end{cases}

在 $x O y$ 平面的投影，要将 $z$ 消去，有投影方程

{\begin{cases} y^{2} + (x + 2 y)^{2} = x \\ z = 0 \end{cases}