10.5 第一类曲面积分

概念

• 第一类曲面积分 ${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)\mathrm{d}S$ 是在一个曲面 $\Sigma$ 进行积分，$x,y,z$ 要满足曲面方程的约束
• 第一类曲面积分与曲面的方向无关
• 若为闭合曲面，可记为 $\iint f(x,y,z)\mathrm{d}S$
• ${\iint }_{\Sigma }\mathrm{d}S$ 等于曲面的面积

计算

一般方法

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}S& =\sqrt{z_x^2+z_y^2+1}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =\sqrt{y_x^2+y_z^2+1}\mathrm{d}x\mathrm{d}z\\ & =\sqrt{x_y^2+x_z^2+1}\mathrm{d}y\mathrm{d}z\end{array}$$

例 1

记 $S$ 表示锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $z=1$ 所围成区域的边界曲面，求曲面积分 $\iint (x^2+y^2)\mathrm{d}S$

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绘出草图：

WARNING

这里所说的边界曲面不仅包含锥面的侧面，也包含底面！两个面要分别处理。

设圆锥侧面为 $S_1$，底面为 $S_2$。依题意，二者在 $xOy$ 上的投影边界均为 $D_{xy}:x^2+y^2=1$。对于 $S_1$ 有：

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial z}{\partial x}& =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ \frac{\partial z}{\partial y}& =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\end{array}\Rightarrow \sqrt{z_x^2+z_y^2+1}=\sqrt{2}$$

故有 $\mathrm{d}S=\sqrt{2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。故有

$${\iint }_{S_1}(x^2+y^2)\mathrm{d}S=\sqrt{2}{\iint }_{D_{xy}}(x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

设 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，则有

$$\begin{array}{rl}{\iint }_{S_1}& =\sqrt{2}{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^1{r}^2\cdot r\mathrm{d}r\\ & =\frac{\sqrt{2}}{4}{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta \\ & =\frac{\sqrt{2}}{2}\pi \end{array}$$

对于 $S_2$ 有 $z_x=z_y=0$，$\mathrm{d}S=\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，则有

$${\iint }_{S_2}(x^2+y^2)\mathrm{d}S={\iint }_{D_{xy}}(x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{\sqrt{2}}{\iint }_{S_1}=\frac{\pi }{2}$$

综上，有

$$\iint ={\iint }_{S_1}+{\iint }_{S_2}=\frac{\sqrt{2}+1}{2}\pi$$

利用对称性简化计算

• 若曲面 $\Sigma$ 关于 $xOy$ 对称，且 $f(x,y,z)$ 关于 $x$ 有奇偶性
  • 若 $f(x,y,z)$ 关于 $z$ 为奇函数，则 ${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)\mathrm{d}S=0$
  • 若 $f(x,y,z)$ 关于 $z$ 为偶函数，则 ${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)\mathrm{d}S=2{\iint }_{\Sigma (z\ge 0)}f(x,y,z)\mathrm{d}S$

例 2

对于曲面 $\Sigma :z=\sqrt{4-x^2-y^2}$，求 ${\iint }_{\Sigma }(x+y+z{)}^2\mathrm{d}S$。

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曲面是一个半球。考虑在积分式中寻找对称性。将其展开。

$$I={\iint }_{\Sigma }(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz)\mathrm{d}S$$

注意到 $2xy,2xz$ 关于 $x$ 是奇函数，$2yz$ 关于 $y$ 是奇函数，因此这三项可略去。又有 $x^2+y^2+z^2=4$，因此原式转化为

$$I=4{\iint }_{\Sigma }1\mathrm{d}S=4\times \frac{1}{2}\times 4\pi \cdot 2^2=32\pi$$

• 若曲面 $\Sigma$ 关于 $x=y=z$ 对称，则有轮换对称性：
  $${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)\mathrm{d}S={\iint }_{\Sigma }f(z,x,y)\mathrm{d}S={\iint }_{\Sigma }f(y,z,x)\mathrm{d}S$$

例 3

对于球面 $\Sigma :x^2+y^2+z^2=1$，求 $\iint (x^2+2y^2+3z^2)\mathrm{d}S$

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球面关于 $x=y=z$ 对称，因此有 $\iint x^2=\iint y^2=\iint z^2$。故有

$$I=2\iint (x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}S=2\iint \mathrm{d}S=2\times 4\pi \cdot 1^2=8\pi$$