240924 每日一题

题面

$a_1=3,a_{n+1}=\frac{1}{1+a_n}$，求证 $\{a_n\}$ 收敛并求出其极限。

思考

对题目稍作计算会发现 $a_n$ 在某个值附近摆动，并且结合不动点发现每隔两项间满足单调有界（先尝试相邻两项无法解决）

入手

计算原式子的不动点，设为 $x$，则

$$x=\frac{1}{1+x}$$

即 $x$ 为 $x^2+x-1=0$ 的正实数根 $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$（初步计算有 $0<a_{n+1}<1$)

当 $0<a_n<x$ 时，结合单调性，$a_{n+1}>x$;

当 $x<a_n<1$ 时，结合单调性，$a_{n+1}<x$。（坏结构）

当 $0<a_n<x$ 时，$0<a_{n+2}<x$;

当 $x<a_n<1$ 时，$x<a_{n+2}<1$。（好结构）

相减

$$a_{n+2}-a_n=\frac{1-a_n-a_n^2}{2+a_n}$$

当 $0<a_n<x$ 时，$1-a_n-a_n^2>0$，$a_{n+2}>a_n$；

当 $x<a_n<1$ 时，$1-a_n-a_n^2<0$，$a_{n+2}<a_n$。

分类

将 $\{a_n\}$ 分为 $\{a_{2k}\}$ 和 $\{a_{2k-1}\}$（$k\in Z^{+}$）

对于 $\{a_{2k-1}\}$，$a_1=3>x$，则 $a_{2k-1}>x$ 有下界，且 $a_{2k-1}>a_{2k+1}$ 单调递减，故 $\{a_{2k-1}\}$ 极限存在记为 $L_1$，对于 $a_{2k+1}=\frac{1+a_{2k-1}}{2+a_{2k-1}}$，两边同时取极限解得 $L_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$;

对于 $\{a_{2k}\}$，$a_2=\frac{1}{4}<x$，则 $a_{2k}<x$ 有上界，且 $a_{2k+2}>a_{2k}$ 单调递增，故 $\{a_{2k}\}$ 极限存在记为 $L_2$，对于 $a_{2k+2}=\frac{1+a_{2k}}{2+a_{2k}}$，两边同时取极限解得 $L_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。

$L_1=L_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

由 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a\iff \{\begin{array}{l}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{2n}=a\\ \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{2n-1}=a\end{array}$

可得数列 $\{a_n\}$ 极限也存在，其极限为 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。