5.1 定积分的概念与性质

引入

例如我们要求一个函数 $y=f(x)$（$f(x)\ge 0$）在 $[a,b]$ 上的图线与 $x$ 轴围成的图形面积 $S$（该形状也称为曲边梯形，因为相比于梯形，有一条边是曲线）。

我们把曲线 $[a,b]$ 分解成 $n$ 个小区间：

$$\begin{array}{c}[a,b]=\bigcup _{i=1}^n[x_{i-1},x_i]\\ (x_0=a<x_1<x_2<\cdots <x_n-1<x_n=b)\end{array}$$

每个小区间的长度，我们将其记为

$$\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1},i=1,2,\cdots ,n$$

这样，这个大的曲边梯形就被我们分割成了 $n$ 个小的曲边梯形。我们将第 $i$ 个曲边梯形的面积记作 $\mathrm{\Delta }{S}_i$，那么有

$$S=\sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{S}_i$$

可是小的曲边梯形的面积如何计算？我们做一个近似。在第 $i$ 个区间内取一个值 ${\xi }_i$，用宽为 $\mathrm{\Delta }{x}_i$，高为 $f({\xi }_i)$ 的矩形的面积来近似替换第 $i$ 个小曲边梯形的面积 $\mathrm{\Delta }{S}_i$。写成符号语言就是

$$\mathrm{取}{\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]\Rightarrow \mathrm{\Delta }{S}_i\doteq f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_{i}i=1,2,\cdots ,n$$

因此我们有

$$S=\sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{S}_i\doteq \sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$

我们记 $\lambda =max\{\mathrm{\Delta }{x}_i\}$，那么

$$S=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$

定积分的定义

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，我们在 $[a,b]$ 中任意插入若干个分点：

$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=b$$

将 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间：

$$\begin{array}{c}[a,b]=\bigcup _{i=1}^n[x_{i-1},x_i]\end{array}$$

记各区间的长度为 $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1}$，在各个区间内任取 ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$，记区间长度的最大值 $\lambda =\underset{1\le i\le n}{max}\{\mathrm{\Delta }{x}_i\}$，有极限

$$\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$

存在，称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，称该极限的值为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分值，记作：

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

其中，$a$ 称为积分下限，$b$ 称为积分上限。

TIP

该定义可以用于求极限，因此需要掌握。

按照上面的定义，$a<b$。这里额外做出两个规定：

• $${\int }_a^{a}f(x)\mathrm{d}x=0$$

• 当 $a>b$ 时，规定

  $${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x$$

因此，此后遇到定积分时，不需要验证上下界的大小关系。

定积分的几何意义

定积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 在几何上表示曲线 $y=f(x)$ 和直线 $x=a$，$x=b$ 以及 $x$ 轴围成各部分中，$x$ 轴上方图形面积之和减去 $x$ 轴下方图形面积之和。

注：有些教材中使用「各部分面积的代数和」这一说法，实质上是引入了「有向面积」，即面积可取负值。

这里举一个用定义计算定积分的例子。

例

利用定义计算定积分

$${\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x$$

因为被积函数 $f(x)=x^2$ 在积分区间 $[0,1]$ 上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间 $[0,1]$ 的分法及点 ${\xi }_i$ 的取法无关。因此，为了便于计算，不妨把区间 $[0,1]$ 分成 $n$ 等份，分点为 $x_i={\displaystyle \frac{i}{n}}$（$i=1,2,\cdots ,n-1$）。这样，每个区间 $[x_{i-1},x_i]$ 的长度 $\mathrm{\Delta }{x}_i={\displaystyle \frac{1}{n}}$（$i=1,2,\cdots ,n$）。取 ${\xi }_i=x_i$（$i=1,2,\cdots ,n$）。于是，得到

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i=\sum _{i=1}^n{\xi }_i^2\mathrm{\Delta }{x}_i=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{i}{n}\right)}^2\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n^3}\sum _{i=1}^n{i}^2$$

与可积相关的条件

可积的充分条件

• 若 $f(x)$ 在闭区间上连续，则其在区间上可积。
• 若 $f(x)$ 在闭区间上有界，且只有有限个间断点，那么 $f(x)$ 在区间上是可积的。

这里不给证明。教材上也没有，要数学专业才能证。

可积的必要条件

若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必有界。（这个是在定义里面写明的）。

但是闭区间上有界的函数不一定可积。例如狄利克雷函数：

$$D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in \mathbf{Q}\\ 0,& x\in {\mathbf{Q}}^C\end{array}$$

在 $[0,1]$ 上有界但不可积。

证明过程

$|D(x)|\le 1$，故 $D(x)$ 有界。

思路：找到两种不同的分割方法，使得累加求和的结果不同，即可证明其不可积。

将 $[0,1]$ 分成 $n$ 份，每段长度为 $\mathrm{\Delta }{x}_i$（$i=1,2,\cdots ,n$），若 $D(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积，则

$$\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}D({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i=I$$

当 ${\xi }_i$ 均取有理数，则

$$\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}1\cdot \mathrm{\Delta }{x}_i=1$$

当 ${\xi }_i$ 均取无理数，则

$$\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}0\cdot \mathrm{\Delta }{x}_i=0$$

两个极限不相等。故 $D(x)$ 在 $[0,1]$ 上不可积。

定积分的基本性质

假设以下定积分都存在，且不做特殊说明，不限制 $a$ 与 $b$ 的大小关系；
证明用定积分定义，直观理解用几何意义。

线性性

$$\begin{array}{c}{\int }_a^b[f(x)\pm g(x)]\mathrm{d}x={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\pm {\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x\\ {\int }_a^{b}kf(x)\mathrm{d}x=k{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

这个性质本质是极限的四则运算性质。

该性质中，区间不变，操作的是被积函数。

可加性

$\mathrm{\forall }c\in \mathbf{R}$，总有

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

WARNING

注意这里不要求 $c\in [a,b]$。

该性质中，被积函数不变，操作的是区间。

常数的定积分

$${\int }_a^{b}1\mathrm{d}x=b-a$$

保号性

设 $\mathrm{\forall }x\in [a,b]$，有 $f(x)\ge 0$，则

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\ge 0$$

大小关系

若 $\mathrm{\forall }x\in [a,b]$，都有 $f(x)\le g(x)$，就有

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\le {\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$$

绝对值的比较

$$|{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x|\le {\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$$

估值定理

设 $\mathrm{\forall }x\in [a,b]$，都有 $m\le f(x)\le M$，则

$$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\le M(b-a)$$

定积分中值定理

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$ 使得

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=(b-a)\cdot f(\xi )$$

NOTE

定积分的近似计算部分，考试不要求。