1.11 连续函数的运算与初等函数的连续性

定理 1 设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $x_0$ 连续，则它们的和（差）$f\pm g$、积 $f\cdot g$ 及商 $\frac{f}{g}$（当 $g(x_0)\ne 0$ 时）都在点 $x_0$ 处连续。

定理 2 如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $I_x$ 上单调增加（或单调减少）且连续，那么其反函数 $x=f^{-1}(y)$ 也在对应的区间 $I_y=\{y|y=f(x),x\in I_x\}$ 单调增加（或单调减小）且连续。

定理 3 设函数 $y=f[g(x)]$ 由函数 $u=g(x)$ 与函数 $y=f(u)$ 复合而成，$\mathring{U}(x_0)\subset D_{f\circ g}$。若 $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=u_0$，而函数 $y=f(u)$ 在 $u=u_0$ 连续，则

$$\underset{x\to x_0}{lim}f[g(x)]=\underset{u\to u_0}{lim}f(u)=f(u_0)$$

定理 4 设函数 $y=f[g(x)]$ 是由函数 $u=g(x)$ 与函数 $y=f(u)$ 复合而成，$U(x_0)\subset D_{f\circ g}$。如函数 $u=g(x)$ 在 $x=x_0$ 连续，且 $g(x_0)=u_0$，而函数 $y=f(u)$ 在 $u=u_0$ 连续，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 在 $x=x_0$ 也连续。

初等函数的连续性

已经证明三角函数及反三角函数在其定义域内是连续的。

指数函数 $y=a^x(a>0,a\ne 1)$ 对于一切实数 $x$ 都有定义，且在区间 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内是单调的和连续的，其值域为 $(0,+\mathrm{\infty })$。

幂函数 $y=x^{\mu }=a^{\mu {\log }_{a}x}$ 可看作由 $y=a^u,u=\mu {\log }_{a}x$ 复合而成，因此其在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 连续。对于不同的 $\mu$，可以分别证明幂函数在其定义域内连续。

综合得到：基本初等函数在其定义域内都是连续的。

可推出：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。所谓定义区间指的是包含在定义域内的区间。

例题补充

例

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left({\displaystyle \frac{2x+c}{2x-c}}\right)}^{x+1}=2$，求常数 $c$ 的值。

TIP

出现底数和指数都含 $x$ 的式子，利用 $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{t})}^t=e$。

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{2x+c}{2x-c}\right)}^{x+1}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{\frac{x}{c}-\frac{1}{2}})}^{x+1}$$

设 $t=\frac{x}{c}-\frac{1}{2},x=ct+\frac{c}{2}$，有

$$\begin{gathered} \mathrm{原}\mathrm{式}={(1+\frac{1}{t})}^{ct+\frac{c}{2}+1}=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left[{(1+\frac{1}{t})}^t\right]}^c=e^c=2 \\ \Rightarrow c=\ln 2 \end{gathered}$$

故 $c$ 的值为 $\ln 2$。

有关求解此类极限的更多内容，详见 3.3* 极限计算专题。