2.1 导数概念

导数的定义

函数在一点处的导数与导函数

定义 设函数 $y=f(x)$ 在 $U(x_0)$ 内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$，相应的因变量取得增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$；若 $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 存在，那么称函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，并称这个极限为 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记为：

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x_0)& =y^{\prime }{|}_{x=x_0}={\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{x=x_0}={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)|}_{x=x_0}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\end{array}$$

$y=f(x)$ 在 $x_0$ 处可导也称为 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处具有导数 / 导数存在。

如果上述极限不存在，则称 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处不可导。如果不可导的原因是上式趋于无穷，也说 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数为无穷大。

如果 $y=f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内每一点均可导，则称 $y=f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内可导，每点的导数值构成一个新的函数，称为 $y=f(x)$ 的导函数。导函数也简称导数。

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =y^{\prime }=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\end{array}$$

单侧导数

定义左导数和右导数的概念：

$$\begin{array}{rl}左导数f_{-}^{\prime }(x_0)& =\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\\ 右导数f_{+}^{\prime }(x_0)& =\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\end{array}$$

二者统称单侧导数。

函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 可导的充要条件为左导数与右导数均存在且相等。

如果函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内可导，且 $f_{+}^{\prime }(a),f_{-}^{\prime }(b)$ 都存在，就说 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上可导。

不可导的情况

以下列出不可导的几种情形

1. 无穷型：导数可能是无穷，如 $y=\sqrt[3]{x}$ 在 $x=0$ 处；

2. 左右导数不等型：$y=|x|$ 在 $x=0$ 处；

3. 不定型：导数值不能确定，如 $y=x\sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处：

可导性与连续性

$f(x)$ 在 $x_0$ 可导是 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续的充分不必要条件。

充分性证明：

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=f^{\prime }(x)\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta x=0$$

而必要性的反例如 $y=\sqrt[3]{x}$，$y=|x|$。

由此我们可以看出可导是局部性质。

对定义、导函数连续性的深入理解

导函数的连续性

在某一点导数是否存在与导函数的连续性无直接关系，即

$$f^{\prime }(x_0)\ne \underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$$

NOTE

例如，考虑这个函数：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2\sin \frac{1}{x}& x\ne 0\\ 0& x=0\end{array}$$

其导函数为：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}6x\sin \frac{1}{x}-3\cos \frac{1}{x}& x\ne 0\\ 0& x=0\end{array}$$

其在 $x=0$ 处是不连续的，因为极限

$$\underset{x\to 0}{\lim }\left(6x\sin \frac{1}{x}-3\cos \frac{1}{x}\right)$$

不存在。

不能以此计算间断点的导数值，而需以

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

进行计算，或是利用 $f_{-}^{\prime }(x)=f_{+}^{\prime }(x)$ 判断。

而导数存在只能推断原函数连续，若要求导函数连续，则视 $f^{\prime }(x)$ 为一个新的函数，令

$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }{f}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

即可。

记住，连续函数不一定处处可导，可导的导函数也不一定连续。

邻域的可导性

函数在某一点可导，是否意味着一定存在该点的某个邻域，使函数在该邻域内每一点都可导？

答案是否定的。

NOTE

例如，考虑这个函数：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\left|\cos \frac{\pi }{x}\right|& x\ne 0\\ 0& x=0\end{array}$$

在 $x\to 0$ 处有：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2\left|\cos \frac{\pi }{x}\right|}{x}=0$$

即该函数在 $x=0$ 可导。

对 $x=0$ 的任何邻域 $(-\delta ,\delta )$，取充分大的 $n$，使得 $x_n=\frac{1}{n+\frac{1}{2}}\in (-\delta ,\delta )$。下面考虑函数在点 $x_{2n}=\frac{2}{4n+1}$ 的导数。注意到

$$f(x_{2n})=x_{2n}^2\cos (2n\pi +\frac{\pi }{2})=0$$

因此有

$$\begin{array}{rl}{f}_{-}^{\prime }(x_{2n})& =\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_{2n}+\Delta x)-f(x_{2n})}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\left[{\left(\frac{2}{4n+1}+\Delta x\right)}^2\cdot \left|\cos \frac{\pi }{\frac{2}{4n+1}+\Delta x}\right|-0\right]\cdot \frac{1}{\Delta x}\\ & =\frac{4}{(4n+1{)}^2}\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\left|\cos \frac{(4n+1)\pi }{2+(4n+1)\Delta x}\right|\cdot \frac{1}{\Delta x}\\ & =\frac{4}{(4n+1{)}^2}\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }-\cos \frac{(4n+1)\pi }{2+(4n+1)\Delta x}\cdot \frac{1}{\Delta x}\\ (洛必达)& =\frac{4}{(4n+1{)}^2}\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\sin \frac{(4n+1)\pi }{2+(4n+1)\Delta x}\cdot \frac{-(4n+1{)}^2\pi }{[2+(4n+1)\Delta x{]}^2}\\ & =-\frac{4}{(4n+1{)}^2}\cdot \frac{(4n+1)\pi }{4}\sin \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)\\ & =-\pi \end{array}$$

类似地，有 $f_{+}^{\prime }(x_{2n})=\pi$。故函数 $f(x)$ 在 $x_{2n}$ 不可导。

同理可证 $f(x)$ 在 $x_{2n+1}$ 不可导。所以 $f(x)$ 在 $x_n=\frac{1}{n+\frac{1}{2}}$ 均不可导。

因此 $f(x)$ 在 $x=0$ 的任意邻域均不可导。