1.5 无穷小与无穷大

无穷小

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=0,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x)=0,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=0$$

称：

• $f(x)$ 为当 $x\to x_0$ 时的无穷小；
• $g(x)$ 为当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时的无穷小；
• $x_n$ 为当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时的无穷小。

定理：

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\iff f(x)=A+\alpha ,\mathrm{其}\mathrm{中}\alpha \mathrm{是}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}$$

无穷大

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x\in \mathring{U}(x_0,\delta ),|f(x)|>M$$

称 $f(x)$ 是 $x\to x_0$ 的无穷大。式中的 $x\to x_0$ 也可以是 $x\to \pm \mathrm{\infty }$。

WARNING

按照定义，所谓的 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$ 中，$f(x)$ 在 $x_0$ 处的极限不存在。该式子只是一个常用的记号表达，并不意味着这样的极限存在。

注意式子中的绝对值。无穷大可正可负。

类似地，我们有

$$\begin{array}{r}\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x\in \mathring{U}(x_0,\delta ),f(x)>M\\ \underset{x\to x_0}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }M<0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x\in \mathring{U}(x_0,\delta ),f(x)<M\end{array}$$

从几何意义上说，对于 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$ 或 $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$，我们称直线 $x=x_0$ 是函数 $y=f(x)$ 的图形的垂直渐近线（铅直渐近线）。

两个结论

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }& \Rightarrow \underset{x\to x_0}{lim}\frac{1}{f(x)}=0\\ \begin{array}{c}\underset{x\to x_0}{lim}\frac{1}{f(x)}=\mathrm{\infty }\\ f(x)\ne 0\end{array}\}& \Rightarrow \underset{x\to x_0}{lim}f(x)=0\end{array}$$

无穷大量与无界量

将海涅定理拓展到 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$ 的情况。当 $x\to x_0$ 时 $f(x)$ 是无穷大是指任何收敛于 $x_0$ 的数列 $\{x_n\}$，都有 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=\mathrm{\infty }$。符号表达：

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }& \iff \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x\in \mathring{U}(x_0,\delta ),|f(x)|>M\\ & \iff \mathrm{\forall }\{x_n\}\mathrm{且}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x_0,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=\mathrm{\infty }\end{array}$$

无界量：$f(x)$ 在 $x_0$ 的任一去心邻域是无界量，是指任取一个正数，该去心邻域中均存在比它大的数，即至少存在一个收敛于点 $x_0$ 的数列 $\{x_n\}(x_n\ne x_0)$，使 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=\mathrm{\infty }$。符号表达：

$$\begin{array}{rl}f(x)\mathrm{在}\mathring{U}(x_0,\delta )\mathrm{中}\mathrm{无}\mathrm{界}& \iff \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }{x}_M\in \mathring{U}(x_0,\delta ),|f(x_M)|\ge M\\ & \iff \mathrm{\exists }\{x_n\},\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x_0,x_n\ne x_0,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=\mathrm{\infty }\end{array}$$

证明 $f(x)=\frac{1}{x}\sin \frac{1}{x}$ 当 $x\to 0$ 是是无界量而非无穷大。

取

$$x_n=\frac{1}{2n\pi +\frac{\pi }{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=0\\ \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(2n\pi +\frac{\pi }{2})\sin \frac{\pi }{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

故该函数当 $x\to 0$ 时是无界量。

取

$$y_n=\frac{1}{2n\pi }\Rightarrow \{\begin{array}{l}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n=0\\ \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(y_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2n\pi \sin 2\pi =0\end{array}$$

故该函数当 $x\to 0$ 时不是无穷量。证毕。

另外，从图像上也能看出，$f(x)$ 在 $x\to 0$ 时不断震荡。

TIP

从定义中的 $\mathrm{\forall }$ 和 $\mathrm{\exists }$ 可以看出，无穷大量一定是无界量，但无界量不一定是无穷大量。

补充：渐近线的求法

水平渐近线

求极限

$$\underset{\begin{array}{c}x\to +\mathrm{\infty }\\ (x\to -\mathrm{\infty })\end{array}}{lim}f(x)$$

若极限存在且等于非零常数 $C$，则求出水平渐近线 $y=C$。

铅直渐近线

寻找

$$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0^{+}\\ (x\to x_0^{-})\end{array}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$$

若存在这样的 $x_0$，则有铅直渐近线 $x=x_0$。

技巧：找使分母为 $0$ 的 $x_0$。

倾斜渐近线

第一步：求斜率

$$\underset{\begin{array}{c}x\to +\mathrm{\infty }\\ (x\to -\mathrm{\infty })\end{array}}{lim}\frac{f(x)}{x}=k\ne 0$$

第二步：求纵截距

$$\underset{\begin{array}{c}x\to +\mathrm{\infty }\\ (x\to -\mathrm{\infty })\end{array}}{lim}[f(x)-kx]=b$$

则渐近线方程为 $y=kx+b$。

例

设 $f(x)={\displaystyle \frac{x}{x-1}}+\ln (2+3e^x)$，求曲线 $y=f(x)$ 的渐近线方程。

① 水平渐近线

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)& =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{x-1}+\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\ln (2+3e^x)\\ & =1+\ln (2+0)=1+\ln 2\\ \\ \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)& =+\mathrm{\infty }\end{array}$$

故有水平渐近线 $y=1+\ln 2$。

② 铅直渐近线

$$\underset{x\to 1}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$$

故有铅直渐近线 $x=1$。

③ 倾斜渐近线

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}& =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x-1}+\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln (2+3e^x)}{x}\\ & =0+\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln 2}{x}=0\\ \\ \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}& =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x-1}+\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln (2+3e^x)}{x}\\ & =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln (2+3e^x)}{x}\\ & =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3e^x}{2+3e^x}\\ & =1\ne 0\end{array}$$

故 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时存在斜渐近线，且斜率 $k=1$。

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)-kx& =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[\frac{x}{x-1}+\ln (2+3e^x)-x]\\ & =1+\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\ln \frac{2+3e^x}{e^x}\\ & =1+\ln 3\end{array}$$

故有斜渐近线方程 $y=x+1+\ln 3$。