3.2 洛必达法则

洛必达法则解决 $x\to a$ 或 $x\to \mathrm{\infty }$ 时，$f(x),g(x)$ 都趋近于零或无穷时，$lim{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$ 可能存在也可能不存在的问题。通常把这样的极限称为未定式，简记为 ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ 或 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$。

在一定条件下通过分子、分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则。

定理 1 设

1. 当 $x\to a$ 时，$f(x),g(x)\to 0$；
2. $\mathring{U}(a)\subset D_f\cap D_g$ 且 $g^{\prime }(x)\ne 0$；
3. $\underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}$ 存在（或为无穷大），

则有

$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

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证 因为 ${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$ 当 $x\to a$ 的极限与 $f(a),g(a)$ 无关，因此可以假定 $f(a)=g(a)=0$。

由条件 1,2 可知，$f(x),g(x)\in C[\mathring{U}(a)]$，满足柯西中值定理的条件，因此有

$$\mathrm{\exists }\xi \in \mathring{U}(a),\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$$

$x\to a$ 时，$\xi \to a$，等式两边求极限即可得到原式。证毕。

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定理 2 设

1. 当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时，$f(x),g(x)\to 0$；
2. $|x|>N$ 是 $f^{\prime }(x),g^{\prime }(x)$ 均存在且 $g^{\prime }(x)\ne 0$；
3. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}$ 存在（或为无穷大），

则有

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

洛必达法则可以多次应用。

WARNING

从高中起，洛必达法则总是我们求极限的「救命稻草」。别的方法用不了，那洛就完了。但是，洛必达也有其局限性。

例如，求极限：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2\sin \frac{1}{x}}{\sin x}$$

若使用洛必达法则求解，则

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2\sin \frac{1}{x}}{\sin x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}}{\cos x}$$

等号右侧的极限不存在，说明洛必达的第三个条件不满足，所以本题不能使用洛必达法则。

而实际上，有

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2\sin \frac{1}{x}}{\sin x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}\cdot \underset{x\to 0}{lim}x\sin \frac{1}{x}=1\times 0=0$$

这说明，无法用洛必达求解的极限是存在的，所以洛必达法则并非万能。