4.2 换元积分法

第一类换元积分法

引入

考虑这个不定积分：

$$\int \cos (e^x)\cdot e^x\mathrm{d}x$$

如果眼力比较好，可以看出 $[\sin (e^x){]}^{\prime }=\cos (e^x)e^x$。但如果函数的形式更加复杂，就比较难看出来了。

这里我们考虑 $e^x\mathrm{d}x$，根据一元函数微分的定义：

$$\mathrm{d}f(x)=\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$$

因此

$$e^x\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}{e}^x}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x=\mathrm{d}{e}^x$$

所以这样处理后，原来的式子变成

$$\int \cos (e^x)e^x\mathrm{d}x=\int \cos (e^x)\mathrm{d}{e}^x$$

把微分符号 $\mathrm{d}$ 后面的内容看成整体，也就是把 $e^x$ 看做积分变量：

$$\int \cos (e^x)\mathrm{d}{e}^x$$

不妨设 $u=e^x$，就有

$$\int \cos (u)\mathrm{d}u=\sin u+C$$

也就是说

$$\int \cos (e^x)e^x\mathrm{d}x=\int \cos (e^x)\mathrm{d}{e}^x=\sin e^x+C$$

定义

设 $\int f(u)\mathrm{d}u=F(u)+C$ 且 $u=\phi (x)$ 可导，则由复合函数微分法和不定积分定义，有

$$\begin{array}{c}\int f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\int f[\phi (x)]\mathrm{d}\phi (x)\\ =\int f(u)\mathrm{d}u=F(u)+C=f[\phi (x)]+C\end{array}$$

这件事的本质是复合函数求导的逆运算。

这里的关键就是把 ${\phi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ 变成 $\mathrm{d}\phi (x)$，也就是求 ${\phi }^{\prime }(x)$ 的原函数。这个步骤通常叫凑微分。

NOTE

更精准地说，不定积分不是求导的逆运算，而是微分的逆运算。

例如，

$$\int 2x\mathrm{d}x$$

这里 $2x\mathrm{d}x$ 是一个整体，是一个微分。我们在这个整体上施加一个积分算符 $\int$，找哪个函数的微分等于 $2x\mathrm{d}x$。

所以积分和微分才是真正的一对。

所以有

$$\int F(x)\mathrm{d}x=\int \mathrm{d}F(x)=F(x)+C$$

这里的积分符号 $\int$ 和 微分符号 $\mathrm{d}$ 就有了一种「抵消感」。

常用凑微分方法

$$\begin{array}{rl}& \int x^{n-1}f(a{x}^n+b)\mathrm{d}x=\frac{1}{an}\int f(a{x}^n+b)\mathrm{d}(a{x}^n+b)(a\ne 0)\\ & \int f(\sin x)\cos x\mathrm{d}x=\int f(\sin x)\mathrm{d}\sin x\\ & \int f(\cos x)\sin x\mathrm{d}x=-\int f(\cos x)\mathrm{d}\cos x\\ & \int f(\ln x)\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\int f(\ln x)\mathrm{d}\ln x\\ & \int f(\sqrt{x})\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}=2\int f(\sqrt{x})\mathrm{d}\sqrt{x}\\ & \int f(\arctan x)\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\int f(\arctan x)\mathrm{d}\arctan x\\ & \int f(\arcsin x)\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\int f(\arcsin x)\mathrm{d}(\arcsin x)\end{array}$$

例题

例 1

$$\begin{array}{rl}\int \cos (2x+3)\mathrm{d}x& =\frac{1}{2}\int \cos (2x+3)\mathrm{d}(2x+3)\\ & =\frac{1}{2}\sin (2x+3)+C\end{array}$$

例 2

$$\begin{array}{rl}\int \frac{{\ln }^{2}x}{x}\mathrm{d}x& =\int {\ln }^{2}x\cdot \frac{1}{x}\mathrm{d}x\\ & =\int {\ln }^{2}x\mathrm{d}\ln x\\ & =\frac{1}{3}{\ln }^{3}x+C\end{array}$$

例 3

推导 $\tan x$ 的不定积分公式。

$$\begin{array}{rl}& \int \tan x\mathrm{d}x\\ & =\int \frac{\sin x}{\cos x}\mathrm{d}x\\ & =-\int \frac{1}{\cos x}\mathrm{d}\cos x\\ & =-\ln \left|\cos x\right|+C\end{array}$$

例 4

推导不定积分公式：

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x(a>0)$$

TIP

目标：化为公式

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin x+C$$

$$\begin{array}{rl}原式& =\int \frac{1}{\sqrt{a^2\left[1-(\frac{x}{a}{)}^2\right]}}\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{a}\int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a}{)}^2}}\mathrm{d}x\\ & =\int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a}{)}^2}}\mathrm{d}\left(\frac{x}{a}\right)\\ & =\arcsin \frac{x}{a}+C\end{array}$$

TIP

以后这个公式就可以直接用了。例如：

$$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{\sqrt{3-x^2}}\mathrm{d}x& =\int \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2-x^2}}\mathrm{d}x\\ & =\arcsin \frac{x}{\sqrt{3}}+C\end{array}$$

例 5

$$\begin{array}{rl}\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}(1+x)}& =2\int \frac{1}{1+(\sqrt{x}{)}^2}\mathrm{d}\sqrt{x}\\ & =2\arctan \sqrt{x}+C\end{array}$$

第二类换元积分法

引入

求不定积分

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{1+\sqrt{x}}$$

设 $t=\sqrt{x}$，则有 $x=t^2$，则有

$$\begin{array}{rl}原式& =\int \frac{\mathrm{d}(t^2)}{1+t}\\ & =2\int \frac{t}{1+t}\mathrm{d}t\\ & =\int \frac{1+t-1}{1+t}\mathrm{d}t\\ & =2\left[\int 1\mathrm{d}t-\int \frac{1}{1+t}\mathrm{d}(t+1)\right]\\ & =2\left[t-\ln (t+1)\right]+C(t\ge 0,|t+1|=t+1)\\ & =2\sqrt{x}-2\ln (\sqrt{x}+1)+C\end{array}$$

定义

适当地选择变量代换 $x=\psi (t)$，将积分 $\int f(x)\mathrm{d}x$ 化为积分 $\int f[\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$，换元公式可表达为：

$$\int f(x)\mathrm{d}x=\int f[\psi (t)]\mathrm{d}[\psi (t)]=\int f[\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$$

其中 $x=\psi (t)$ 是单调可导的函数，且 ${\psi }^{\prime }(t)\ne 0$。

常见代换方法

三角代换

• 被积函数含 $\sqrt{a^2-x^2}$ $(a>0)$，令 $x=a\sin t$，$t\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$，则 $\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t$，$\mathrm{d}x=a\cos t\mathrm{d}t$。
• 被积函数含 $\sqrt{x^2+a^2}$ $(a>0)$，令 $x=a\tan t$，$t\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$，则 $\sqrt{x^2+a^2}=a\sec t$，$\mathrm{d}x=a{\sec }^{2}t\mathrm{d}t$。
• 被积函数含 $\sqrt{x^2-a^2}$ $(a>0)$，令 $x=a\sec t$，$t\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{\pi }{2},\pi \right]$，则 $\sqrt{x^2-a^2}=a\tan t$，$\mathrm{d}x=a\sec t\tan t\mathrm{d}t$。

根式代换

被积函数含 $\sqrt[n]{ax+b}$，令 $t=\sqrt[n]{ax+b}$，有 $x=\frac{1}{a}(t^n-b)$。

倒代换

当被积函数的最高次数高于分子的最高次数时，可试用倒代换令 $t=\frac{1}{x}$，$x=\frac{1}{t}$。

指数代换

当被积函数含有指数函数 $e^{ax}$ 时，可用代换 $u=e^{ax}$，但常需配合其他变换。

例题

例 6

求不定积分

$$\int \sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x$$

解：令 $t=\arcsin \frac{x}{a}$，$t\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$，则有 $x=a\sin t$，$\mathrm{d}x=a\cos t\mathrm{d}t$。

$$\begin{array}{rl}原式& =\int a\cos t\cdot a\cos t\mathrm{d}t\\ & =a^2\int {\cos }^{2}t\mathrm{d}t\\ & =\frac{a^2}{2}\int (1+\cos 2t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{a^2}{2}\left[\int 1\mathrm{d}t+\frac{1}{2}\int \cos 2t\mathrm{d}(2t)\right]\\ & =\frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{4}\sin 2t+C\\ & =\frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{4}\sin t\cos t+C\\ & =\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{a^2}{2}\cdot \frac{x}{a}\cdot \cos \left(\arcsin \frac{x}{a}\right)+C\end{array}$$

$\cos \left(\arcsin \frac{x}{a}\right)$ 怎么求？

对于三角套反三角的表达式，通常采用辅助三角形法求值。

画出一个三角形，指定一个角为本题的 $t$，根据 $\sin t=\frac{x}{a}$，直接令对边为 $x$，斜边为 $a$，根据勾股定理得到邻边为 $\sqrt{a^2-x^2}$，即可得到 $\cos t=\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$。

$$\begin{array}{rl}原式& =\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{a^2}{2}\cdot \frac{x}{a}\cdot \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}+C\\ & =\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x^2\sqrt{a^2-x^2}}{2}+C\end{array}$$

例 7

求不定积分

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+1{)}^{3/2}}$$

解：令 $x=\tan t$，$t\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$，则 $\mathrm{d}x={\sec }^{2}t\mathrm{d}t$。则

$$(x^2+1{)}^{3/2}=({\sec }^{2}t{)}^{3/2}={\left|\sec t\right|}^3={\sec }^{3}t$$

故有

$$\begin{array}{rl}原式& =\int \frac{{\sec }^{2}t\mathrm{d}t}{{\sec }^{3}t}\\ & =\int \frac{1}{\sec t}\mathrm{d}t\\ & =\int \cos t\mathrm{d}t\\ & =\sin t+C\\ (辅助三角形)& =\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+C\end{array}$$