5.4 定积分的计算

换元法求定积分

设函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $x = φ (t)$ 满足以下条件：

则有定积分换元公式

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f [φ (t)] φ^{'} (t) d t .

奇偶函数的积分性质

设函数 $f (x)$ 在区间 $[- a, a]$ 上连续，有

例

设函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上连续，证明：

(1)

\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\cos x) d x

并由此计算

I_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} d x

(2)

\int_{0}^{\frac{π}{2}} x f (\sin x) d x = π \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) d x

(3)

\int_{0}^{\frac{π}{2}} x f (\sin x) d x = \frac{π}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) d x

并由此计算

I_{2} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{x \sin x}{1 + \cos^{2} x} d x

证明

(1) 令 $x = \frac{π}{2} - t$ ，则 $d x = - d t$ ，当 $x = 0$ 时， $t = \frac{π}{2}$ ；当 $x = \frac{π}{2}$ 时， $t = 0$ ，于是有：

\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) d x = - \int_{\frac{π}{2}}^{0} f [\sin (\frac{π}{2} - t)] d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\cos t) d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\cos x) d x

利用此结论有：

I_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x

从而：

2 I_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos x + \sin x}{\sin x + \cos x} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} d x = \frac{π}{2}

即：

I_{1} = \frac{π}{4}

(2) 令 $x = \frac{π}{2} - t$ ，则 $d x = - d t$ ，当 $x = 0$ 时， $t = \frac{π}{2}$ ；当 $x = π$ 时， $t = - \frac{π}{2}$ ，于是有：

\begin{aligned} \int_{0}^{π} x f (\sin x) d x & = - \int_{\frac{π}{2}}^{- \frac{π}{2}} (\frac{π}{2} - t) f [\sin (\frac{π}{2} - t)] d t = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (\frac{π}{2} - t) f (\cos t) d t \\ = \frac{π}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (\cos t) d t - \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} t f (\cos t) d t \\ = π \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\cos t) d t \end{aligned}

由 (1) 得：

原 式 = π \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin t) d t = π \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) d x

(3) 令 $x = π - t$ ，则 {\rm d} x = -{\rm d} t$，当 $x = 0$ 时， $t = π$ ，当 $x = π$ 时， $t = 0$ ，于是有

\begin{aligned} \int_{0}^{π} x f (\sin x) d x & = - \int_{π}^{0} (π - t) f [\sin (π - t)] d t \\ = \int_{0}^{π} (π - t) f (\sin t) d t \\ = π \int_{0}^{π} f (\sin t) d t - \int_{0}^{π} t f (\sin t) d t \\ = π \int_{0}^{π} f (\sin x) d x - \int_{0}^{π} x f (\sin x) d x, \end{aligned}

移项即得

\int_{0}^{π} x f (\sin x) d x = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} f (\sin x) d x .

利用上式，有

\begin{aligned} I_{2} & = \int_{0}^{π} \frac{x \sin x}{1 + \cos^{2} x} d x = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} d x = - \frac{π}{2} \int_{0}^{π} \frac{d \cos x}{1 + \cos^{2} x} \\ = - \frac{π}{2} {[\arctan (\cos x)]}_{0}^{π} = - \frac{π}{2} (- \frac{π}{4} - \frac{π}{4}) = \frac{π^{2}}{4} . \end{aligned}

若函数 $u = u (x)$ ， $v = v (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上具有一阶连续导数 $u^{'} (x)$ ， $v^{'} (x)$ ，则有定积分分部积分公式

\int_{a}^{b} u d v = (u v) |_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v d u .

证明

因为 $u = u (x)$ ， $v = v (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可导，则有

(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'} .

在上述式两端分别取 $[a, b]$ 上的定积分得

\int_{a}^{b} (u v)^{'} d x = \int_{a}^{b} u^{'} v d x + \int_{a}^{b} u v^{'} d x,

于是有

(u v) |_{a}^{b} = \int_{a}^{b} u^{'} v d x + \int_{a}^{b} u v^{'} d x,

移项得

\int_{a}^{b} u d v = (u v) |_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v d u .

证毕.

\begin{aligned} I_{n} & = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{n} x d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{n} x d x \\ = {\begin{matrix} \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{n + 1} \cdot \frac{1}{n - 1} \cdot \frac{1}{n - 3} \cdot \dots \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n}, & n 为 正 偶 数, \\ \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{n - 1} \cdot \frac{1}{n - 3} \cdot \dots \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{n}, & n 为 大 于 1 的 正 奇 数 . \end{matrix} \\ = {\begin{matrix} \frac{(n - 1)!!}{n!!} \cdot \frac{π}{2}, & n 为 正 偶 数, \\ \frac{(n - 1)!!}{n!!}, & n 为 大 于 1 的 正 奇 数 . \end{matrix} \end{aligned}