5.4 定积分的计算

换元法求定积分

定理

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，函数 $x=\phi (t)$ 满足以下条件：

1. 当 $t=\alpha$ 时 $x=\alpha$，当 $t=\beta$ 时 $x=\beta$ ；
2. 当 $t$ 从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时， $x=\phi (t)$ 在区间 $[a,b]$ 上变化；
3. 函数 $\phi$ 在区间 $[\alpha ,\beta ]$ （或 $[\beta ,\alpha ]$ ）上单调且有连续导数.

则有定积分换元公式

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t.$$

几个重要结论

奇偶函数的积分性质

设函数 $f(x)$ 在区间 $[-a,a]$ 上连续，有

1. 当 $f(x)$ 为奇函数时， ${\int }_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=0$ ；
2. 当 $f(x)$ 为偶函数时， ${\int }_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=2{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x$ .

例

设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上连续，证明：

(1)

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x)dx$$

​ 并由此计算

$$I_1={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx$$

(2)

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}xf(\sin x)dx=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx$$

(3)

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx$$

​ 并由此计算

$$I_2={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{x\sin x}{1+{\cos }^{2}x}dx$$

证明

(1) 令 $x=\frac{\pi }{2}-t$，则 $dx=-dt$，当 $x=0$ 时，$t=\frac{\pi }{2}$；当 $x=\frac{\pi }{2}$ 时，$t=0$，于是有：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)\mathrm{d}x=-{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{0}f[\sin (\frac{\pi }{2}-t)]\mathrm{d}t={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos t)\mathrm{d}t={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x)\mathrm{d}x$$

利用此结论有：

$$I_1={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x$$

从而：

$$2I_1={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x+\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}$$

即：

$$I_1=\frac{\pi }{4}$$

(2) 令 $x=\frac{\pi }{2}-t$，则 $dx=-dt$，当 $x=0$ 时，$t=\frac{\pi }{2}$；当 $x=\pi$ 时，$t=-\frac{\pi }{2}$，于是有：

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\pi }xf(\sin x)\mathrm{d}x& =-{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{-\frac{\pi }{2}}(\frac{\pi }{2}-t)f[\sin (\frac{\pi }{2}-t)]\mathrm{d}t={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(\frac{\pi }{2}-t)f(\cos t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{\pi }{2}{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}f(\cos t)\mathrm{d}t-{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}tf(\cos t)\mathrm{d}t\\ & =\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos t)\mathrm{d}t\end{array}$$

由 (1) 得：

$$原式=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin t)\mathrm{d}t=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)\mathrm{d}x$$

(3) 令 $x=\pi -t$，则 {\rm d} x = -{\rm d} t$，当 $x=0$ 时，$t=\pi$，当 $x=\pi$ 时，$t=0$，于是有

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\pi }xf(\sin x)\mathrm{d}x& =-{\int }_{\pi }^0(\pi -t)f[\sin (\pi -t)]\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{\pi }(\pi -t)f(\sin t)\mathrm{d}t\\ & =\pi {\int }_0^{\pi }f(\sin t)\mathrm{d}t-{\int }_0^{\pi }tf(\sin t)\mathrm{d}t\\ & =\pi {\int }_0^{\pi }f(\sin x)\mathrm{d}x-{\int }_0^{\pi }xf(\sin x)\mathrm{d}x,\end{array}$$

移项即得

$${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)\mathrm{d}x.$$

利用上式，有

$$\begin{array}{rl}{I}_2& ={\int }_0^{\pi }\frac{x\sin x}{1+{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }\frac{\sin x}{1+{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x=-\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }\frac{\mathrm{d}\cos x}{1+{\cos }^{2}x}\\ & =-\frac{\pi }{2}{\left[\arctan (\cos x)\right]}_0^{\pi }=-\frac{\pi }{2}\left(-\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{{\pi }^2}{4}.\end{array}$$

分部积分法求定积分

若函数 $u=u(x)$，$v=v(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上具有一阶连续导数 $u^{\prime }(x)$，$v^{\prime }(x)$，则有定积分分部积分公式

$${\int }_a^{b}u\mathrm{d}v=(uv){|}_a^b-{\int }_a^{b}v\mathrm{d}u.$$

证明

因为 $u=u(x)$，$v=v(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可导，则有

$$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }.$$

在上述式两端分别取 $[a,b]$ 上的定积分得

$${\int }_a^b(uv{)}^{\prime }\mathrm{d}x={\int }_a^b{u}^{\prime }v\mathrm{d}x+{\int }_a^{b}u{v}^{\prime }\mathrm{d}x,$$

于是有

$$(uv){|}_a^b={\int }_a^b{u}^{\prime }v\mathrm{d}x+{\int }_a^{b}u{v}^{\prime }\mathrm{d}x,$$

移项得

$${\int }_a^{b}u\mathrm{d}v=(uv){|}_a^b-{\int }_a^{b}v\mathrm{d}u.$$

证毕.

Wallis（沃利斯）公式

$$\begin{array}{rl}{I}_n& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}x\mathrm{d}x\\ & =\{\begin{array}{ll}\frac{\pi }{2}\cdot \frac{1}{n+1}\cdot \frac{1}{n-1}\cdot \frac{1}{n-3}\cdot \dots \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n},& n为正偶数,\\ \frac{\pi }{2}\cdot \frac{1}{n-1}\cdot \frac{1}{n-3}\cdot \dots \cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{n},& n为大于1的正奇数.\end{array}\\ & =\{\begin{array}{ll}\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi }{2},& n为正偶数,\\ \frac{(n-1)!!}{n!!},& n为大于1的正奇数.\end{array}\end{array}$$