240925 每日一题

$a_{1} = 2$ , $b_{1} = 1$ , 当 $n \geq 2$ 时，

{\begin{cases} a_{n} = \frac{3}{4} a_{n - 1} + \frac{1}{4} b_{n - 1} \\ b_{n} = \frac{1}{4} a_{n - 1} + \frac{3}{4} b_{n - 1} \end{cases}

求 $lim_{n \to \infty} a_{n}$ , $lim_{n \to \infty} b_{n}$

本题结构优良，由两式相加得到

a_{n} + b_{n} = a_{n - 1} + b_{n - 1} = \dots = a_{1} + b_{1} = 3

相减得到

a_{n} - b_{n} = \frac{1}{2} (a_{n - 1} + b_{n - 1}) = \dots = (\frac{1}{2})^{n - 1} (a_{1} - b_{1}) = (\frac{1}{2})^{n - 1}

由此可以解得

a_{n} = \frac{3 + (\frac{1}{2})^{n - 1}}{2}, b_{n} = \frac{3 - (\frac{1}{2})^{n - 1}}{2}

故

lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n} = \frac{3}{2}

有时候先对数据本身进行处理而别急着取极限也是不错的方法，尤其在结构优良的情况下尝试进行恒等变形而化简。

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