10.3 第二类曲线积分

概念

• 第二类曲线积分 ${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$ 是沿着一条曲线 $L$ 对 $x$ 和 $y$ 进行积分

• 注意曲线 $L$ 有正负之分，逆时针为正方向

  $${\int }_{L^{+}}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=-{\int }_{L^{-}}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$$

对第二类曲线积分的理解

第一类曲线积分是某个变化的数量在曲线上的积分，而第二类曲线积分可以理解为某个变化的向量在曲线方向上的积分。

考虑求平面上的一个变力 $F=P(x,y)\cdot \mathbf{i}+Q(x,y)\cdot \mathbf{j}$ 沿着曲线 $S$ 所做的功。则有

$$\begin{array}{c}\mathrm{d}W=F\cdot \mathrm{d}s=(P,Q)\cdot (\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y\\ W={\int }_{S}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y\end{array}$$

计算

化为参数方程进行计算

$$\begin{array}{rl}{\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y& ={\int }_{t_1}^{t_2}P\cdot x^{\prime }(t)\mathrm{d}t+Q\cdot y^{\prime }(t)\mathrm{d}t\\ & ={\int }_{t_1}^{t_2}P[x(t),y(t)]x^{\prime }(t)\mathrm{d}t+Q[x(t),y(t)]y^{\prime }(t)\mathrm{d}t\end{array}$$

例 1

设 $L$ 表示 $x^2+y^2=2x$ 的正向，求 ${\oint }_L{y}^2\mathrm{d}x+2x\mathrm{d}y$。

---

$L$ 可化为 $(x-1{)}^2+y^2=1$，故可设 $\{\begin{array}{l}x=\cos \theta +1\\ y=\sin \theta \end{array}$

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^{2\pi }{\sin }^2\theta \mathrm{d}(\cos \theta +1)+2(\cos \theta +1)\mathrm{d}\sin \theta \\ & ={\int }_0^{2\pi }-{\sin }^3\theta \mathrm{d}\theta +2\cos \theta (\cos \theta +1)\mathrm{d}\theta \\ & ={\int }_0^{2\pi }[-{\sin }^3\theta +2\cos \theta +2{\cos }^2\theta ]\mathrm{d}\theta \end{array}$$

根据对称性，${\sin }^3\theta$ 和 $\cos \theta$ 在一个周期内的积分为 $0$。

因此有

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^{2\pi }2{\cos }^2\theta \mathrm{d}\theta \\ & ={\int }_0^{2\pi }(\cos 2\theta +1)\mathrm{d}\theta \\ & ={\left[\frac{1}{2}\sin 2\theta +\theta \right]}_0^{2\pi }\\ & =2\pi \end{array}$$

例 2

设 $L$ 表示 $y=x^2$ 与 $x=y^2$ 围成曲线的正向，求 ${\oint }_L(2xy-x^2)\mathrm{d}x+(x+y^2)\mathrm{d}y$。

---

对于 $L_1:y=x^2$，将方程代入可得

$$\begin{array}{rl}{\oint }_{L_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y& ={\int }_0^1(2x\cdot x^2-x^2)\mathrm{d}x+(x+x^4)\mathrm{d}(x^2)\\ & ={\int }_0^1(2x^3-x^2)\mathrm{d}x+2(x^2+x^5)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^1(2x^5+2x^3+x^2)\mathrm{d}x\\ & ={\left[\frac{2x^6}{6}+\frac{2x^4}{4}+\frac{x^3}{3}\right]}_0^1\\ & =\frac{7}{6}\end{array}$$

对于 $L_2:x=y^2$，将方程代入可得

$$\begin{array}{rl}{\oint }_{L_2}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y& ={\int }_1^0(2y^2\cdot y-y^4)\mathrm{d}(y^2)+(y^2+y^2)\mathrm{d}y\\ & ={\int }_1^{0}2(2y^4-y^5)\mathrm{d}y+2y^2\mathrm{d}y\\ & =-2{\int }_0^1(-y^5+2y^4+y^2)\mathrm{d}y\\ & =-2{\left[-\frac{x^6}{6}+\frac{2y^5}{5}+\frac{y^3}{3}\right]}_0^1\\ & =-\frac{17}{15}\end{array}$$

故有 $I=\frac{7}{6}-\frac{17}{15}=\frac{1}{30}$。

两类曲线积分的关系

前面提到，第一类曲线积分是一个变化的数量在曲线上积分，第二类曲线积分是一个变化的向量在曲线上积分。要得到两种积分的关系，我们可以构造这样一个第一类曲线积分：变化的这个数量是某个变化的向量在曲线切线方向上的投影，则这个第一类曲线积分的结果就是该向量关于曲线的第二类积分。

对于第二类曲线积分 ${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$，我们积分的向量为 $(P,Q)$。设 $\cos \alpha ,\cos \beta$ 为曲线上一点切线的方向余弦，则此点切向的单位向量为 $(\cos \alpha ,\cos \beta )$。将 $(P,Q)$ 向切向投影，即

$$(P,Q)\cdot (\cos \alpha ,\cos \beta )=P\cos \alpha +Q\cos \beta$$

因此有

$${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y={\int }_L(P\cos \alpha +Q\cos \beta )\mathrm{d}s$$

另一个方向？

构造这样一个第二类曲线积分：一个始终沿着曲线切线方向的向量，当它沿着一条曲线积分时，则这个第二类曲线积分的结果就是其模长关于曲线的第一类积分。

对于第一类曲线积分 ${\int }_{L}F\mathrm{d}s$，设 $\cos \alpha ,\cos \beta$ 为曲线上一点切线的方向余弦，则此点切向的单位向量为 $(\cos \alpha ,\cos \beta )$，则构造出的向量为

$$F(\cos \alpha ,\cos \beta )=\stackrel{P}{\overbrace{F\cos \alpha }}\cdot \mathbf{i}+\stackrel{Q}{\overbrace{F\cos \beta }}\cdot \mathbf{j}$$

因此有

$${\int }_{L}F\mathrm{d}s={\int }_{L}F\cos \alpha \mathrm{d}x+F\cos \beta \mathrm{d}y$$

---

不妨验证一下这个方程。从 ${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$ 出发，利用教材公式

$$\begin{array}{c}{\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y={\int }_L(P\cos \alpha +Q\cos \beta )\mathrm{d}s={\int }_{L}F\mathrm{d}s\end{array}$$

根据新公式，从 $F$ 构造新的 $P,Q$：

$$\begin{array}{rl}{P}_1& =F\cos \alpha =(P\cos \alpha +Q\cos \beta )\cos \alpha \\ Q_1& =F\cos \beta =(P\cos \alpha +Q\cos \beta )\cos \beta \end{array}$$

计算新的第二类曲线积分：

$$\begin{array}{rl}& {\int }_L[(P\cos \alpha +Q\cos \beta )\cos \alpha \mathrm{d}x+(P\cos \alpha +Q\cos \beta )\cos \beta \mathrm{d}y]\\ & ={\int }_L(P\cos \alpha +Q\cos \beta )(\cos \alpha \mathrm{d}x+\cos \beta \mathrm{d}x)\end{array}$$

又有 $\mathrm{d}x=\cos \alpha \cdot \mathrm{d}s$，$\mathrm{d}y=\cos \beta \cdot \mathrm{d}s$，因此有

$$\cos \alpha \mathrm{d}x+\cos \beta \mathrm{d}x=(co{s}^2\alpha +{\cos }^2\beta )\mathrm{d}s=\mathrm{d}s$$

带回得到新的第二类曲线积分的值为 ${\int }_L(P\cos \alpha +Q\cos \beta )\mathrm{d}s$。这和教材公式是吻合的。

例 3

设 $L$ 表示曲线 $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t^2\\ z=t^3\end{array}$ 上 $0\le t\le 1$ 的部分，将 ${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$ 化为第一类曲线积分。

---

关键在于求出曲线的方向余弦。

$$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=1\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=2t\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=3t^2\\ \Rightarrow \mathbf{v}=(1,2t,3t^2),|\mathbf{v}|=\sqrt{3t^2+2t+1}\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{3t^2+2t+1}}\\ \cos \beta =\frac{2t}{\sqrt{3t^2+2t+1}}\\ \cos \gamma =\frac{3t^2}{\sqrt{3t^2+2t+1}}\end{array}\end{array}$$

因此有

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_L\frac{P\cdot 1+Q\cdot 2t+R\cdot 3t^2}{\sqrt{3t^2+2t+1}}\\ & ={\int }_L\frac{P+2xQ+3x^{2}R}{\sqrt{3x^2+2x+1}}\end{array}$$