启发性例题

求 $f (x) = n \to \infty lim n 1 + x^{n} + (\frac{x ^{2}}{2})^{n}$ 的导函数。

先分析 $f (x)$ 。

① $0 < x \leq 1$ 时，

1 < n 1 + x^{n} + (\frac{x ^{2}}{2})^{n} < n 3 \to 1 \Rightarrow f (x) = 1 (0 < x \leq 1)

② $1 < x \leq 2$ 时，

x \leq n 1 + x^{n} + (\frac{x ^{2}}{2})^{n} \leq n x^{n} + x^{n} + x^{n} = n 3 x \to x \Rightarrow f (x) = x (1 < x \leq 2)

③ $x > 2$ 时，

\frac{x ^{2}}{2} < n 1 + x^{n} + (\frac{x ^{2}}{2})^{n} \leq n (\frac{x ^{2}}{2})^{n} + (\frac{x ^{2}}{2})^{n} + (\frac{x ^{2}}{2})^{n} = n 3 \cdot \frac{x ^{2}}{2} \to \frac{x ^{2}}{2} \Rightarrow f (x) = \frac{x ^{2}}{2} (x > 2)

因此，有

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 1, x, \frac{x ^{2}}{2}, 0 < x \leq 1 1 < x \leq 2 x > 2

下面分析 $f^{'} (x)$ 。

① $0 < x < 1$ 时， $f (x) = 1 \Rightarrow f^{'} (x) = 0$ 。

② $x = 1$ 时，

f_{-}^{'} (1) f_{+}^{'} (1) = x \to 1^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} = 0 = x \to 1^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} = 1 ⎭ ⎬ ⎫ \Rightarrow f_{-}^{'} (1) \neq = f_{+}^{'} (1)

故 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处不可导。

③ $1 < x < 2$ 时， $f (x) = x \Rightarrow f^{'} (x) = 1$ 。

④ $x = 2$ 时，

f_{-}^{'} (2) f_{+}^{'} (2) = x \to 2^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2} = 1 = x \to 2^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2} = 2 ⎭ ⎬ ⎫ \Rightarrow f_{-}^{'} (2) \neq = f_{+}^{'} (2)

故 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处不可导。

⑤ $x > 2$ 时， $f (x) = \frac{x ^{2}}{2} \Rightarrow f^{'} (x) = x$ 。

综上，有

f^{'} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, 1, x, 0 < x < 1 1 < x < 2 x > 2

#2

求曲线 $C : y = (2 x + 1) e^{\frac{1}{x}}$ 的渐近线。

设 $f (x) = (2 x + 1) e^{\frac{1}{x}}$ 。

① 找水平渐近线

x \to \infty lim f (x) = \infty

故没有水平渐近线。

② 找垂直渐近线

x \to 0^{+} lim f (x) = x \to 0^{+} lim e^{\frac{1}{x}} = \infty

故 $x = 0$ 是其垂直渐近线。

③ 找倾斜渐近线

x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x} x \to \infty lim f (x) - 2 x (令 t = \frac{1}{x}) (等价无穷小) = x \to \infty lim \frac{( 2 x + 1 ) e ^{\frac{1}{x}}}{x} = 2 = k \neq = 0 = x \to \infty lim (2 x + 1) e^{\frac{1}{x}} - 2 x = t \to 0 lim [(\frac{2}{t} + 1) e^{t} - \frac{2}{t}] = t \to 0 lim [\frac{2 ( e ^{t} - 1 )}{t} + e^{t}] = t \to 0 lim [\frac{2 t}{t} + e^{t}] = 2 + 1 = 3

故倾斜渐近线为 $y = 2 x + 3$ 。

求 $C : {x = \frac{3 a t}{1 + t ^{3}} y = \frac{3 a t ^{2}}{1 + t ^{3}}$ 的斜渐近线。

x \to \infty lim \frac{y ( x )}{x} x \to \infty lim y (x) + x = t \to - 1 lim \frac{\frac{3 a t ^{2}}{1 + t ^{3}}}{\frac{3 a t}{1 + t ^{3}}} = - 1 = k = t \to - 1 lim \frac{3 a t ^{2}}{1 + t ^{3}} + \frac{3 a t}{1 + t ^{3}} = t \to - 1 lim \frac{3 a ( t ^{2} + t )}{t ^{3} + 1} = t \to - 1 lim \frac{3 a t ( t + 1 )}{( t + 1 ) ( t ^{2} - t + 1 )} = t \to - 1 lim \frac{3 a t}{t ^{2} - t + 1} = \frac{- 3 a}{1 + 1 + 1} = - a = b

故其倾斜渐近线为 $y = - x - a$ 。