启发性例题

求 $f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{1+x^n+(\frac{x^2}{2}{)}^n}$ 的导函数。

先分析 $f(x)$。

① $0<x\le 1$ 时，

$$\begin{gathered} 1<\sqrt[n]{1+x^n+{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n}<\sqrt[n]{3}\to 1 \\ \Rightarrow f(x)=1(0<x\le 1) \end{gathered}$$

② $1<x\le 2$ 时，

$$\begin{gathered} x\le \sqrt[n]{1+x^n+{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n}\le \sqrt[n]{x^n+x^n+x^n}=\sqrt[n]{3}x\to x \\ \Rightarrow f(x)=x(1<x\le 2) \end{gathered}$$

③ $x>2$ 时，

$$\begin{gathered} \frac{x^2}{2}<\sqrt[n]{1+x^n+{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n}\le \sqrt[n]{{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n+{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n+{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^n}=\sqrt[n]{3}\cdot \frac{x^2}{2}\to \frac{x^2}{2} \\ \Rightarrow f(x)=\frac{x^2}{2}(x>2) \end{gathered}$$

因此，有

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x\le 1\\ x,& 1<x\le 2\\ \frac{x^2}{2},& x>2\end{array}$$

下面分析 $f^{\prime }(x)$。

① $0<x<1$ 时，$f(x)=1\Rightarrow f^{\prime }(x)=0$。

② $x=1$ 时，

$$\begin{array}{rl}{f}_{-}^{\prime }(1)& =\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=0\\ f_{+}^{\prime }(1)& =\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=1\end{array}\}\Rightarrow f_{-}^{\prime }(1)\ne f_{+}^{\prime }(1)$$

故 $f(x)$ 在 $x=1$ 处不可导。

③ $1<x<2$ 时，$f(x)=x\Rightarrow f^{\prime }(x)=1$。

④ $x=2$ 时，

$$\begin{array}{rl}{f}_{-}^{\prime }(2)& =\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=1\\ f_{+}^{\prime }(2)& =\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=2\end{array}\}\Rightarrow f_{-}^{\prime }(2)\ne f_{+}^{\prime }(2)$$

故 $f(x)$ 在 $x=2$ 处不可导。

⑤ $x>2$ 时，$f(x)=\frac{x^2}{2}\Rightarrow f^{\prime }(x)=x$。

综上，有

$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0<x<1\\ 1,& 1<x<2\\ x,& x>2\end{array}$$

#2

求曲线 $C:y=(2x+1)e^{\frac{1}{x}}$ 的渐近线。

设 $f(x)=(2x+1)e^{\frac{1}{x}}$。

① 找水平渐近线

$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty$$

故没有水平渐近线。

② 找垂直渐近线

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}=\infty$$

故 $x=0$ 是其垂直渐近线。

③ 找倾斜渐近线

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}& =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{(2x+1)e^{\frac{1}{x}}}{x}=2=k\ne 0\\ \underset{x\to \infty }{\lim }f(x)-2x& =\underset{x\to \infty }{\lim }(2x+1)e^{\frac{1}{x}}-2x\\ (令t=\frac{1}{x})& =\underset{t\to 0}{\lim }\left[(\frac{2}{t}+1)e^t-\frac{2}{t}\right]\\ & =\underset{t\to 0}{\lim }\left[\frac{2(e^t-1)}{t}+e^t\right]\\ (等价无穷小)& =\underset{t\to 0}{\lim }\left[\frac{2t}{t}+e^t\right]\\ & =2+1=3\end{array}$$

故倾斜渐近线为 $y=2x+3$。

#3

求 $C:\{\begin{array}{l}x=\frac{3at}{1+t^3}\\ y=\frac{3a{t}^2}{1+t^3}\end{array}$ 的斜渐近线。

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{y(x)}{x}& =\underset{t\to -1}{\lim }\frac{\frac{3a{t}^2}{1+t^3}}{\frac{3at}{1+t^3}}=-1=k\\ \underset{x\to \infty }{\lim }y(x)+x& =\underset{t\to -1}{\lim }\frac{3a{t}^2}{1+t^3}+\frac{3at}{1+t^3}\\ & =\underset{t\to -1}{\lim }\frac{3a(t^2+t)}{t^3+1}\\ & =\underset{t\to -1}{\lim }\frac{3at(t+1)}{(t+1)(t^2-t+1)}\\ & =\underset{t\to -1}{\lim }\frac{3at}{t^2-t+1}\\ & =\frac{-3a}{1+1+1}=-a=b\end{array}$$

故其倾斜渐近线为 $y=-x-a$。