5.3 用定积分求 n 项和数列极限

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积，如果定积分中我们将区间 $n$ 等分，每个区间的 ${\xi }_i$ 取右端点，就有

$${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)\frac{1}{n}$$

所以，遇到 $n$ 项和数列极限时，如果能变形成等号右边的样子，我们就能用定积分求解。

例

求极限：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}\left(\sqrt{n^2-1^2}+\sqrt{n^2-2^2}+\cdots +\sqrt{n^2-n^2}\right)$$

解：

1. 先用求和符号整理

   $$I=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}\sum _{n=1}^n\sqrt{n^2-i^2}$$

   注意到 $n$ 和 $i$ 齐次，这种极限往往采用定积分法处理。（如果 $i$ 的次数低于 $n$，往往考虑放缩、夹逼准则）

2. 提出 $\frac{1}{n}$，想办法把 $i$ 全部凑成 $\frac{i}{n}$

   $$\begin{array}{rl}I& =\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\frac{\sqrt{n^2-i^2}}{n}\cdot \frac{1}{n}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\sqrt{1-{\left(\frac{i}{n}\right)}^2}\cdot \frac{1}{n}\end{array}$$

   到这里我们就找到了 $f(x)=\sqrt{1-(\frac{i}{n}{)}^2}$

3. 将凑好的形式中的 $\frac{1}{n}$ 换成 $\mathrm{d}x$，把 $\frac{i}{n}$ 换成 $x$，把 $\lim \sum$ 换成 ${\int }_0^1$

   $$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\sqrt{1-{\left(\frac{i}{n}\right)}^2}\cdot \frac{1}{n}={\int }_0^1\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x$$

4. 求解定积分。

这里求解定积分当然可以用牛莱公式，先求不定积分再相减，也不会太复杂（不定积分为 $\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}\arcsin x+C$）。但是这里我们用几何方法更快。

注意到 $y=\sqrt{1-x^2}$ 实际上是以原点为圆心，以 $1$ 为半径的一个半圆。根据定积分的几何意义，${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x$ 实际上是在第一象限的四分之一圆的面积：

所以该定积分的值为 $S=\frac{\pi \cdot 1^2}{4}=\frac{\pi }{4}$。