7.1 正项级数

1. ${\mathrm{\Sigma }}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$，称作无穷级数，简称级数。其中 $u_n$ 为通项。

2. 级数前 n 项之和 $S_n=u_1+u_2+\cdots +u_n$ 称作部分和。

3. 常数项级数：各项均为常数，例如 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$，$a_n$ 为常数。

函数项级数：各项为函数，例如 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n(x)$，$u_n(x)$ 为函数。

4. 部分和数列：$S_1,S_2,S_3,\cdots$（若收敛，极限记为 $S$，即 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=S$ ，余项 $r=S-S_n$）。

5. 结论：调和级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ 发散（证明见教材，P.266）。

6. 结论：等比 (几何) 级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}a{q}^n$

• $a+aq+a{q}^2+\cdots +a{q}^n+\cdots (a\ne 0)$ 收敛，$|q|<1$
• 发散，$|q|\ge 1$

7. 常数项级数收敛性：

① 性质：

• 级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 收敛 $\Rightarrow$ 级对级数加括号后所形成的级数也收敛。
• 推论：若加括号后级数发散 $\Rightarrow$ 原级数发散。

② （级数收敛的必要条件）：若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 收敛，则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$。

• 逆否：若 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n\ne 0$，则 $\sum _{n\to \mathrm{\infty }}{u}_n$ 发散。
• 注：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$ 不能推出 $\sum _{n\to \mathrm{\infty }}{u}_n$ 收敛。

③ 若级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 收敛，其和为 $S$，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}k{u}_n$ 收敛，其和为 $kS$（$k$ 为常数）。

④ 若级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$ 收敛于 $S_1,S_2$，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(u_n+v_n)$ 收敛其和为 $S_1+S_2$。

• 推论：若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 收敛，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$ 发散，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(u_n+v_n)$ 一定发散。

⑤ 在级数中去掉，加上，改变有限项，不影响级数的敛散性。

8. 正项级数及其审敛法：

   ① 部分和数列 $\{S_n\}$ 有界 $\iff$ 正项级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 收敛。

   • 推论：正项级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 收敛 $\Rightarrow$ 部分和数列 $\{S_n\}$ 有界 $\Rightarrow$ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 收敛。

   ② 比较审敛法：设 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$ 为正项级数。

   • 若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$ 收敛，且 $u_n\le v_n$，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 收敛（大敛小敛）。
   • 若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$ 发散，且 $u_n\ge v_n$，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n$ 发散（小散大散）。

   ③ 结论：$p$ - 级数

   • $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}$ 收敛，$p>1$
   • 发散，$p\le 1$ 推论：
   • 若 $\sum v_n$ 收敛，$\mathrm{\exists }N\mathrm{属}\mathrm{于}\mathrm{正}\mathrm{整}\mathrm{数}$，$n>N$ 时 $u_n\le k{v}_n$ 成立，则 $\sum u_n$ 收敛。
   • 若 $\sum v_n$ 发散，$\mathrm{\exists }N\mathrm{正}\mathrm{整}\mathrm{数}$，$n>N$ 时 $u_n\ge k{v}_n$ 成立，则 $\sum u_n$ 发散。

   ④ 极限形式：有正项级数 $\sum u_n$，$\sum v_n$，记 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_n}{v_n}=l$。

   • 当 $0<l<+\mathrm{\infty }$ 同时收敛或发散。

   • 当 $l=0$，若 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛。

   • 当 $l=+\mathrm{\infty }$，若 $\sum v_n$ 发散，则 $\sum u_n$ 发散。

   ⑤ 比值审敛法（达朗贝尔判别法 /d'Alember）有正项级数 $\sum u_n$，且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_{n+1}}{u_n}=p$ 则

   • $p<1$：收敛
   • $p>1$：发散
   • $p=1$：失效，换方法。

   ⑥ 根值审敛法（ Cauchy 判别法）有正项级数 $\sum u_n$，且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{u_n}=p$ 则

   • $p<1$：收敛
   • $p>1$：发散
   • $p=1$：失效。