9.3 隐函数的微分

隐函数求导公式

对于 $F (x, y) = 0$ 确定的一元隐函数 $y = y (x)$ ，有 $\frac{d y}{d x} = - \frac{F _{x}}{F _{y}}$ （隐函数导数公式）
对于 $F (x, y, z) = 0$ 确定的二元隐函数 $z = z (x, y)$ ，有 $\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F _{x}}{F _{y}}$ ， $\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F _{y}}{F _{z}}$
也可以继续用原来的方法，两边同时求（偏）导。

例 1

设 $z = z (x, y)$ 由方程 $\frac{x}{z} = ln \frac{z}{y}$ 决定，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ， $\frac{\partial z}{\partial y}$

法一：用公式。设 $F (x, y, z) = \frac{x}{z} - ln \frac{z}{y} = \frac{x}{z} - ln z + ln y$ ，则有

\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial F}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{z} = \frac{1}{y} = - \frac{x}{z ^{2}} - \frac{1}{z} = - \frac{F _{x}}{F _{z}} = - \frac{\frac{1}{z}}{- \frac{x}{z ^{2}} - \frac{1}{z}} = \frac{z}{x + z} = - \frac{F _{y}}{F _{z}} = - \frac{\frac{1}{y}}{- \frac{x}{z ^{2}} - \frac{1}{z}} = \frac{z ^{2}}{y ( x + z )}

法二：两边同时求偏导

将 $y$ 视为常数， $z$ 是 $x$ 的函数：

\frac{\partial}{\partial x} \frac{x}{z} \frac{z - x z _{x}}{z ^{2}} z - x z_{x} z_{x} = \frac{\partial}{\partial x} (ln z - ln y) = \frac{1}{z} \cdot z_{x} = z z_{x} = \frac{z}{x + z}

将 $x$ 视为常数， $z$ 是 $y$ 的函数：

\frac{\partial}{\partial y} \frac{x}{z} - \frac{x}{z ^{2}} \cdot z_{y} \frac{x + z}{z ^{2}} z_{y} z_{y} = \frac{\partial}{\partial y} (ln z - ln y) = \frac{z _{y}}{z} - \frac{1}{y} = \frac{1}{y} = \frac{z ^{2}}{y ( x + z )}

方程组确定的隐函数

两个一元隐函数

两个方程中，有一个自变量、两个函数值。对自变量求导解方程组。

例 2

函数 $x = x (z)$ ， $y = y (z)$ 由方程组 ${x + y + z = 0 x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 确定，求 $\frac{d x}{d z}$ ， $\frac{d y}{d z}$ 。

对两个方程左右两边同时对 $z$ 求导：

⎩ ⎨ ⎧ \frac{d x}{d z} + \frac{d y}{d z} + 1 = 0 2 x \frac{d x}{d z} + 2 y \frac{d y}{d z} + 2 z = 0 \Rightarrow ⎩ ⎨ ⎧ \frac{d x}{d z} = \frac{y - z}{x - y} \frac{d y}{d z} = \frac{z - x}{x - y}

两个二元隐函数

两个方程中，两个自变量、两个函数值。

公式难背，建议现推。考场上先推公式再代入，答案不写推导过程。不要直接用给定的方程组推，很难算。

隐函数存在定理 3 的快速推导

将方程组化为 ${F (x, y, u, v) \equiv 0 G (x, y, u, v) \equiv 0$ ，其中 $x, y$ 为自变量， $u, v$ 为函数。

两方程对 $x$ 求偏导，得到

{F_{x} + F_{u} u_{x} + F_{v} v_{x} = 0 G_{x} + G_{u} u_{x} + G_{v} v_{x} = 0 \Rightarrow (F_{u} G_{u} F_{v} G_{v}) (u_{x} v_{x}) = (- F_{x} - G_{x})

利用克拉默法则写出解：

u_{x} = \frac{- F _{x} - G _{x} F _{v} G _{v}}{F _{u} G _{u} F _{v} G _{v}} v_{x} = \frac{F _{u} G _{u} - F _{x} - G _{x}}{F _{u} G _{u} F _{v} G _{v}}

同理，对 $y$ 的偏导，将结果中的 $x$ 替换为 $y$ ：

u_{y} = \frac{- F _{y} - G _{y} F _{v} G _{v}}{F _{u} G _{u} F _{v} G _{v}} v_{x} = \frac{F _{u} G _{u} - F _{y} - G _{y}}{F _{u} G _{u} F _{v} G _{v}}

四个式子的分母 $F_{u} G_{u} F_{v} G_{v}$ 相同，称为雅可比式，记为 $J$ ，只需要算一遍。

例 3

设 ${x = e^{u} + u sin v y = e^{u} - u cos v$ ，求 $\frac{\partial u}{\partial x}$ ， $\frac{\partial u}{\partial y}$ ， $\frac{\partial v}{\partial x}$ ， $\frac{\partial v}{\partial y}$ 。

根据方程组写出

{F (x, y, u, v) = x - e^{u} - u sin v G (x, y, u, v) = y - e^{u} + u cos v

故有

F_{u} G_{u} = - e^{u} - sin v = - e^{u} + cos v F_{v} G_{v} = - u cos v = - u sin v F_{x} = 1 G_{x} = 0, F_{y} = 0, G_{y} = 1

代入公式可得

J \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y} = F_{u} G_{v} - F_{v} G_{u} = u [e^{u} (sin v - cos v) + 1] \neq = 0 = - \frac{F _{x} G _{v} - F _{v} G _{x}}{J} = \frac{sin v}{e ^{u} ( sin v - cos v ) + 1} = - \frac{F _{y} G _{v} - F _{v} G _{y}}{J} = - \frac{cos v}{e ^{u} ( sin v - cos v ) + 1} = - \frac{F _{u} G _{x} - F _{x} G _{u}}{J} = \frac{- e ^{u} + cos v}{u e ^{u} ( sin v - cos v ) + u} = - \frac{F _{u} G _{y} - F _{y} G _{u}}{J} = \frac{e ^{u} + sin v}{u e ^{u} ( sin v - cos v ) + u}

9.3 隐函数的微分 ​

隐函数求导公式 ​

方程组确定的隐函数 ​

两个一元隐函数 ​

两个二元隐函数 ​

9.3 隐函数的微分

隐函数求导公式

方程组确定的隐函数

两个一元隐函数

两个二元隐函数