1.2* 三角函数与双曲函数衔接专题

高中老师说大学会讲，大学老师说高中讲过

三角函数相关补充

补充剩下的三个三角函数：

• 正割 $\sec x$：

  $$\sec x=\frac{1}{\cos x}$$

• 余割 $\csc x$：

  $$\csc x=\frac{1}{\sin x}$$

• 余切 $\cot x$：

  $$\cot x=\frac{1}{\tan x}$$

补充和差化积和积化和差公式：

• 积化和差公式：

  $$\begin{array}{rl}\sin \alpha \cos \beta & =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]\\ \cos \alpha \sin \beta & =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )]\\ \cos \alpha \cos \beta & =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]\\ \sin \alpha \sin \beta & =-\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )]\end{array}$$

• 和差化积公式：

  $$\begin{array}{rl}\sin \alpha +\sin \beta & =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\\ \sin \alpha -\sin \beta & =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\\ \cos \alpha +\cos \beta & =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\\ \cos \alpha -\cos \beta & =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\end{array}$$

反三角相关补充

为了解决已知正弦值求角的问题，定义反三角函数 $\arcsin$，$\arccos$，$\arctan$，$\mathrm{arccot}$。其中的 “arc” 是「弧」的意思，指反三角函数「输出」的值为弧度。

反正弦函数 $y=\arcsin x$

• 定义域：$x\in [-1,1]$
• 值域：$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$
• 单调性：在定义域上单调增加
• 奇偶性：奇函数
• 有界性：下界为 $-\frac{\pi }{2}$，上界为 $\frac{\pi }{2}$
• 周期性：无

值域 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 称反正弦的主值区间。

WARNING

反正弦函数不是正弦函数的反函数。因为三角函数都不是单射，因此所有的反三角函数都不是对应三角函数的反函数，最多只能算是其在主值区间内的反函数。

结论：

• 外正内反，值不变：

  $$\mathrm{\forall }a\in [-1,1],\sin (\arcsin a)=a$$

• 内正外反，值转到主值区间内：

  $$\mathrm{\forall }a\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],\arcsin [\sin (a+2k\pi )]=\arcsin [\sin (\pi -a+2k\pi )]=a,k\in \mathbf{Z}$$

反余弦函数 $y=\arccos x$

• 定义域：$[-1,1]$
• 值域：$[0,\pi ]$
• 单调性：在定义域上单调减少
• 奇偶性：非奇非偶
• 有界性：下界为 $0$，上界为 $\pi$
• 周期性：无

值域 $[0,\pi ]$ 称为反余弦函数的主值区间。

结论：

• 外正内反，值不变：

  $$\mathrm{\forall }a\in [-1,1],\cos (\arccos a)=a$$

• 内正外反，值转到主值区间内：

  $$\mathrm{\forall }a\in [0,\pi ],\arccos (\cos a)=a$$

• 互补角：

  $$\mathrm{\forall }a\in [-1,1],\arccos (-x)=\pi -\arccos x$$

• 互余角：

  $$\mathrm{\forall }x\in [-1,1],\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$$

反正切函数 $y=\arctan x$

• 定义域：$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$
• 值域：$(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$
• 单调性：在定义域上单调增加
• 奇偶性：奇函数
• 有界性：下界为 $-\frac{\pi }{2}$，上界为 $\frac{\pi }{2}$
• 周期性：无
• 纵轴截距：$\frac{\pi }{2}$
• 渐近线：两条水平渐近线，$y=\pm \frac{\pi }{2}$。

结论：

• 外正内反，值不变：

  $$\mathrm{\forall }a\in \mathbf{R},\tan (\arctan a)=a$$

• 内正外反，值转到主值区间内：

  $$\mathrm{\forall }a\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}),\arctan [\tan (a+k\pi )]=a,k\in \mathbf{Z}$$

反余切函数 $y=\mathrm{arccot}x$

• 定义域：$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$
• 值域：$(0,\pi )$
• 单调性：在定义域上单调减少
• 奇偶性：非奇非偶
• 有界性：下界为 $0$，上界为 $\pi$
• 周期性：无
• 纵轴截距：$\frac{\pi }{2}$
• 渐近线：两条水平渐近线，$y=0$ 与 $y=\frac{\pi }{2}$。

WARNING

反余切函数的值域和反正切函数不一样！反正切是 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$，反余切是 $[0,\pi ]$。

结论：

• 外正内反，值不变

  $$\mathrm{\forall }a\in \mathbf{R},\cot (\mathrm{arccot}a)=a$$

• 内正外反，值转到主值区间

  $$\mathrm{\forall }a\in (0,\pi ),\mathrm{arccot}[\cot (a+k\pi )]=a,k\in \mathbf{R}$$

• 互补角

  $$\mathrm{\forall }a\in \mathbf{R},\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}(-a)=\pi -\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}a$$

• 互余角

  $$\mathrm{\forall }a\in \mathbf{R},\mathrm{arccot}a+\arctan a=\frac{\pi }{2}$$

双曲函数和反双曲函数

双曲函数的自变量的值叫做双曲角。

双曲函数

双曲正弦

$$\mathrm{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$

• 定义域：$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$
• 值域：$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$
• 单调性：在定义域上单调增加
• 奇偶性：奇函数
• 有界性：无
• 周期性：无

双曲余弦

$$\mathrm{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

偶函数先减后增无零点，纵轴截距为 1。

• 定义域：$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$
• 值域：$[1,+\mathrm{\infty })$
• 单调性：$(-\mathrm{\infty },0)$ 单调减少，$(0,+\mathrm{\infty })$ 单调增加
• 奇偶性：偶函数
• 有界性：无
• 周期性：无
• 纵轴截距：$1$

双曲正切

$$\mathrm{th}x=\frac{\mathrm{sh}x}{\mathrm{ch}x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$

• 定义域：$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$
• 值域：$(-1,1)$
• 单调性：在定义域上单调增加
• 奇偶性：奇函数
• 有界性：下界为 $-1$，上界为 $1$
• 周期性：无
• 渐近线：两条水平渐近线，$y=\pm 1$

常用公式

$$\begin{array}{rl}\mathrm{sh}(x\pm y)& =\mathrm{sh}x\mathrm{ch}y\pm \mathrm{ch}x\mathrm{sh}y\\ \mathrm{ch}(x\pm y)& =\mathrm{ch}x\mathrm{ch}y\pm \mathrm{sh}x\mathrm{sh}y\\ \mathrm{th}(x\pm y)& =\frac{\mathrm{th}x\pm \mathrm{th}y}{1\pm \mathrm{th}x\mathrm{th}y}\\ \mathrm{sh}2x& =2\mathrm{sh}x\mathrm{ch}x\\ \mathrm{ch}2x& ={\mathrm{ch}}^{2}x+{\mathrm{sh}}^{2}x\\ & =2{\mathrm{ch}}^{2}x-1\\ & =1+2{\mathrm{sh}}^{2}x\\ \mathrm{th}2x& =\frac{2\mathrm{th}x}{1+{\mathrm{th}}^{2}x}\end{array}$$

以上公式稍加整理即可证明，比三角容易多了。

对比三角函数的公式

$$\begin{array}{rlrl}\mathrm{sh}(x\pm y)& =\mathrm{sh}x\mathrm{ch}y\pm \mathrm{ch}x\mathrm{sh}y& \sin (x\pm y)& =\sin x\cos y\pm \cos x\sin y\\ \mathrm{ch}(x\pm y)& =\mathrm{ch}x\mathrm{ch}y\pm \mathrm{sh}x\mathrm{sh}y& \cos (x\pm y)& =\cos x\cos y\mp \sin x\sin y\\ \mathrm{th}(x\pm y)& =\frac{\mathrm{th}x\pm \mathrm{th}y}{1\pm \mathrm{th}x\mathrm{th}y}& \tan (x\pm y)& =\frac{\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}\\ \\ \mathrm{sh}2x& =2\mathrm{sh}x\mathrm{ch}x& \sin 2x& =2\sin x\cos x\\ \mathrm{ch}2x& ={\mathrm{ch}}^{2}x+{\mathrm{sh}}^{2}x& \cos 2x& ={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\\ & =2{\mathrm{ch}}^{2}x-1& & =2{\cos }^{2}x-1\\ & =1+2{\mathrm{sh}}^{2}x& & =1-2{\sin }^{2}x\\ \mathrm{th}2x& =\frac{2\mathrm{th}x}{1+{\mathrm{th}}^{2}x}& \tan 2x& =\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}\end{array}$$

WARNING

注意区分二者的符号！

题外话：为什么双曲函数和三角函数这么像？

根据欧拉公式，我们可以列出两个方程：

$$\{\begin{array}{l}{e}^{ix}=\cos x+i\sin x\\ e^{-ix}=\cos x-i\sin x\end{array}$$

解得

$$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$

也就是说

$$\begin{array}{rl}\cos x& =\mathrm{ch}(ix)\\ \sin x& =-i\mathrm{sh}(ix)\end{array}$$

这说明，两个式子对应的两个函数在复域内仅通过旋转即可重合。

反双曲函数

根据定义式反求可得反双曲函数。

反双曲正弦

$$y=\mathrm{arsh}x=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$$

反双曲余弦

$$y=\mathrm{arch}x=\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$$

定义域为 $[1,+\mathrm{\infty })$，值域为 $[0,+\mathrm{\infty })$。

反双曲正切

$$y=\mathrm{arth}x=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}$$

定义域为 $(-1,1)$，值域为 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$。有两条垂直渐近线 $x=\pm 1$。