240922 每日一题

题面

设 $A_{n} \geq 0$ ，满足 $A_{n + 1} \leq A_{n} + \frac{1}{n ^{2}}$ ，证明 $A_{n}$ 收敛。

反证法证明数列 $A_{n}$ 收敛

1. 假设数列 $A_{n}$ 不收敛

假设数列 $A_{n}$ 不收敛，这意味着什么？根据收敛的定义，如果 $A_{n}$ 不收敛，那么数列 $A_{n}$ 是发散的，也就是说，不存在一个极限 $L$ ，使得 $A_{n}$ 趋于该极限。

特别地，数列 $A_{n}$ 不可能发散到无穷大，因为我们可以通过累加条件 $A_{n + 1} \leq A_{n} + \frac{1}{n ^{2}}$ 知道数列是有界的。因此，数列 $A_{n}$ 的发散只能是震荡发散，即数列在两个（或多个）值之间无界震荡。

2. 反证法：假设数列 $A_{n}$ 发散

假设数列 $A_{n}$ 不收敛，意味着存在一个正数 $ε > 0$ ，并且对于任意的整数 $N$ ，存在无穷多对 $m > n > N$ ，使得：

∣ A_{m} - A_{n} ∣ \geq ε

也就是说，数列 $A_{n}$ 的元素之间存在不小于 $ϵ$ 的差异。接下来会证明这种情况不可能发生，从而推翻这一假设。

3. 利用条件 $A_{n + 1} \leq A_{n} + \frac{1}{n ^{2}}$

从 $A_{n + 1} \leq A_{n} + \frac{1}{n ^{2}}$ 可以推导出数列的增量是逐渐减小的。可以看到，对于任意 $n$ ：

A_{m} - A_{n} \leq k = n \sum m - 1 \frac{1}{k ^{2}}

由于 $\sum_{k = n}^{\infty} \frac{1}{k ^{2}}$ 是一个收敛级数，这意味着数列的增量会越来越小。当 $n$ 越来越大时，增量的和可以被限制在任意小的范围内。

4. 矛盾产生

根据假设，数列 $A_{n}$ 是发散的，且存在 $m > n$ 使得 $∣ A_{m} - A_{n} ∣ \geq ε$ 。但根据条件 $A_{n + 1} \leq A_{n} + \frac{1}{n ^{2}}$ ，我们已经证明了随着 $n$ 的增大，数列之间的增量 $A_{m} - A_{n}$ 会被限制在任意小的范围内，也就是说无界震荡只可能是减量震荡：存在一个正数 $ε > 0$ ，并且对于任意的整数 $N$ ，存在无穷多对 $m > n > N$ ，使得： $A_{n} - A_{m} \geq ε$ ，而我们已经说明增量之和有界，而无穷多的（非无穷小）减量累加是无穷，将与 $A_{n} \geq 0$ 的条件产生矛盾。

5. 结论

假设数列 $A_{n}$ 发散导致了矛盾，故假设不成立，因此我们可以得出结论：数列 $A_{n}$ 是收敛的。

构造直接证明数列 $A_{n}$ 收敛

1. 构造 $B_{n}$

由递推公式 $A_{n + 1} \leq A_{n} + \frac{1}{n ^{2}}$ 和 $C_{n}$ 的定义，我们可以构造 $B_{n}$ ：

B_{n} = A_{n} - C_{n}

现在考察 $B_{n}$ 的递推关系。首先，数列 $C_{n}$ 的递推关系为：

C_{n + 1} = C_{n} + \frac{1}{n ^{2}}

将这个关系代入 $B_{n}$ 的递推式，我们得到：

B_{n + 1} = A_{n + 1} - C_{n + 1}

根据递推公式 $A_{n + 1} \leq A_{n} + \frac{1}{n ^{2}}$ ，代入后得：

B_{n + 1} = A_{n + 1} - (C_{n} + \frac{1}{n ^{2}}) \leq A_{n} + \frac{1}{n ^{2}} - C_{n} - \frac{1}{n ^{2}}

整理后得到：

B_{n + 1} \leq A_{n} - C_{n} = B_{n}

这表明数列 $B_{n}$ 是单调递减的。

由于 $A_{n} \geq 0$ ，且 $C_{n}$ 是从 1 到 $n - 1$ 的非负累积和，因此 $B_{n} = A_{n} - C_{n}$ 也具有下界：

B_{n} \geq A_{n} - C_{n} \geq 0 - C_{n} \geq - C_{n}

注意到 $C_{n}$ 是累积增量之和，且 $C_{n}$ 是收敛的（因为调和级数的平方和是收敛的）。因此， $B_{n}$ 有下界 $- C_{n}$ ，而 $C_{n}$ 趋向有限值，所以数列 $B_{n}$ 是有界的。

由于 $B_{n}$ 是单调递减且有下界，因此根据单调收敛定理，数列 $B_{n}$ 必定收敛，设其极限为 $L$ ：

n \to \infty lim B_{n} = L

2. 数列 $A_{n}$ 的收敛性

既然我们已经证明 $B_{n}$ 收敛，那么我们可以通过 $A_{n} = B_{n} + C_{n}$ 来分析数列 $A_{n}$ 的收敛性。

$C_{n}$ 是递增的，并且是累积的调和平方和部分，已知它会收敛到某个有限值 $S$ ：
$n \to \infty lim C_{n} = S$
$B_{n}$ 是单调递减并收敛到 $L$ 。

因此，数列 $A_{n} = B_{n} + C_{n}$ 的极限为：

n \to \infty lim A_{n} = L + S

至此证明了数列 $A_{n}$ 的收敛性。

240922 每日一题 ​

题面 ​

反证法证明数列 An​ 收敛 ​

1. 假设数列 An​ 不收敛 ​

2. 反证法：假设数列 An​ 发散 ​

3. 利用条件 An+1​≤An​+n21​ ​

4. 矛盾产生 ​

5. 结论 ​

构造直接证明数列 An​ 收敛 ​

1. 构造 Bn​ ​

2. 数列 An​ 的收敛性 ​