5.2 微积分基本公式

积分上限的函数及其导数

考查函数 $f(x)$ 在区间 $[a,x]$ 上的积分（其中 $a$ 为常数，$x$ 为变量）：

$$\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$$

这个函数称为积分上限的函数，也称变限函数。

根据定积分的几何意义，$\Phi (x)$ 代表从 $a$ 到 $x$，$f(x)$ 图线下的面积。所以，「变限函数」也可以视为「面积变动的函数」。

考虑它的导数。根据几何直观，${\Phi }^{\prime }(x)$ 即一小段 $\mathrm{d}x$ 对应增加的这部分区域的高，应该就等于 $f(x)$。下面验证一下：

$$\begin{array}{rl}{\Phi }^{\prime }(x)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\Phi (x+\mathrm{\Delta }x)-\Phi (x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}[{\int }_a^{x+\mathrm{\Delta }x}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t]\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}[\cancel{{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t}+{\int }_x^{x+\mathrm{\Delta }x}f(t)\mathrm{d}t-\cancel{{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t}]\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}{\int }_x^{x+\mathrm{\Delta }x}f(t)\mathrm{d}t\\ (\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{中}\mathrm{值}\mathrm{定}\mathrm{理})& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(\xi )\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}f(\xi )\end{array}$$

其中 $\xi$ 在 $x$ 与 $x+\mathrm{\Delta }x$ 之间。

因此当 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时，${\Phi }^{\prime }(x)=f(\xi )=f(x)$。

因此我们有：

定理 1 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，那么积分上限的函数

$$\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$$

在 $[a,b]$ 上可导，并且它的导数

$${\Phi }^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=f(x)(a\le x\le b)$$

推论

如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，那么积分下限的函数

$$\Phi (x)={\int }_x^{b}f(t)\mathrm{d}t$$

在 $[a,b]$ 上可导，并且它的导数

$${\Phi }^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_x^{b}f(t)\mathrm{d}t=-f(x)(a\le x\le b)$$

并由此引出：

定理 2（原函数存在定理）如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，那么函数

$$\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}\mathrm{t}$$

就是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数。

例 1

设有定义在 $\mathbf{R}$ 上的 $f(x)>0$。求证：

$$F(x)=\frac{{\int }_0^{x}tf(t)\mathrm{d}t}{{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t}$$

在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 上单调递增。

证明：

$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(x)& =\frac{xf(x)[{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t]-f(x)[{\int }_0^{x}tf(t)\mathrm{d}t]}{[{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t{]}^2}\\ & =\frac{f(x)}{[{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t{]}^2}[x{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_0^{x}tf(t)\mathrm{d}t]\\ & =\frac{f(x)}{[{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t{]}^2}[{\int }_0^{x}xf(t)\mathrm{d}t-{\int }_0^{x}tf(t)\mathrm{d}t]\\ & =\frac{f(x)}{[{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t{]}^2}{\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t\end{array}$$

由于 $0\le t\le x$，因此 $x-t>0$。又有 $f(x)>0$，故 $x\in [0,+\mathrm{\infty })$ 时 $F^{\prime }(x)>0$。因此 $F(x)$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 上单调递增。

推论 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则积分下限函数 $\Phi (x)={\int }_x^{b}f(t)\mathrm{d}t$ 在区间 $[a,b]$ 上可导，且

$${\Phi }^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_x^{b}f(t)\mathrm{d}t=-f(x)$$

思考：「$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有原函数」和「${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 存在」这二者之间有什么关系？

结论：二者是无关的。

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先论证 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有原函数时 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 不一定存在。取

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{4}{3}{x}^{\frac{1}{3}}\sin \frac{1}{x}-x^{-\frac{2}{3}}\cos \frac{1}{x}& x\in (0,1]\\ 0& x=0\end{array}$$

容易验证，有

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^{\frac{4}{3}}\sin \frac{1}{x}& x\in (0,1]\\ 0& x=0\end{array}$$

是 $f(x)$ 的原函数（$x=0$ 处的导数用定义验证）。我们考虑 $f(x)$ 在 $0$ 到 $1$ 上的定积分

$${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^1(\frac{4}{3}{x}^{\frac{1}{3}}\sin \frac{1}{x}-\frac{\cos \frac{1}{x}}{x^{\frac{2}{3}}})\mathrm{d}x$$

第一项是有界的，我们考虑第二项。取 $x={\displaystyle \frac{1}{2n\pi }}$，当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，第二项的值等于 $(2n\pi {)}^{\frac{2}{3}}\to \mathrm{\infty }$，因此整个函数是无界的。定积分定义中写明，前提条件必须是函数有界。因此 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上不存在定积分。

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下面论证 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 存在时 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上不一定有原函数。取

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& x\in [0,1)\\ -1& x\in [1,2]\end{array}$$

显然有 ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=0$。下面证 $f(x)$ 不存在原函数。

假设 $f(x)$ 有原函数，记之为 $F(x)$。根据原函数的定义，有 $F^{\prime }(x)=f(x)$。

考虑 $F^{\prime }(x)$ 在 $x=1$ 处的左导数。由于 $F(x)$ 在闭区间上连续，在开区间内可导，根据拉格朗日中值定理，$\mathrm{\exists }\xi \in (x,1)$，使得

$$\begin{array}{rl}{F}_{-}^{\prime }(1)& =\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{F(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{F^{\prime }(\xi )(x-1)}{x-1}\\ & =\underset{x\to 1^{-}}{lim}{F}^{\prime }(\xi )=\underset{x\to 1^{-}}{lim}f(\xi )=\underset{\xi \to 1^{-}}{lim}f(\xi )\end{array}$$

根据 $f(x)$ 的定义，$\xi$ 小于 $1$ 且趋近于 $1$，$f(\xi )=1$。因此 $F_{-}^{\prime }(1)=1$。

考虑 $F^{\prime }(x)$ 在 $x=1$ 处的右导数。根据拉格朗日中值定理，$\mathrm{\exists }\eta \in (1,x)$，使得

$$\begin{array}{rl}{F}_{+}^{\prime }(1)& =\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{F(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{F^{\prime }(\eta )(x-1)}{x-1}\\ & =\underset{x\to 1^{+}}{lim}{F}^{\prime }(\eta )=\underset{x\to 1^{+}}{lim}f(\eta )=\underset{\xi \to 1^{+}}{lim}f(\eta )\end{array}$$

根据 $f(x)$ 的定义，$\eta$ 大于 $1$ 且趋近于 $1$，$f(\eta )=-1$。因此 $F_{+}^{\prime }(1)=-1$。

因此 $F_{-}^{\prime }(1)\ne F_{+}^{\prime }(1)$，$F(x)$ 在 $x=1$ 处不可导。矛盾。因此 $f(x)$ 的原函数不存在。

牛顿 - 莱布尼茨公式

微积分基本定理 如果函数 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的一个原函数，那么

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$$

该式称为牛顿 - 莱布尼茨公式，也叫做微积分基本公式。这个式子打通了定积分和不定积分。

该公式用上面的两个定理很容易证明。

证明过程

记 $\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$，$x\in [a,b]$。则 ${\Phi }^{\prime }(x)=f(x)$。

另一方面，$F^{\prime }(x)=f(x)$，因此 $[\Phi (x)-F(x){]}^{\prime }=0$，故 $\Phi (x)-F(x)=C$。

取 $x=a$，$0-F(a)=C$，故 $C=-F(a)$，带回得到

$${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=F(x)-F(a)$$

令 $x=b$，即可得到原式。

为方便起见，此后将 $F(b)-F(a)$ 记作 $[F(x){]}_a^b$ 或者 $F(x){|}_a^b$，于是上式也可写成

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=[F(x){]}_a^b$$

例 2

计算上一节中的定积分

$${\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x$$

解：

$$I={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}$$

变限函数的导数的推广

前面我们有：若 $f(x)\in C[a,b]$，则

$${[{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t]}^{\prime }=f(x)$$

可以将其推广为：

若 $f(x)\in C[a,b]$，$\phi (x),\psi (x)$ 可导，则

$${[{\int }_{\psi (x)}^{\phi (x)}f(t)\mathrm{d}t]}^{\prime }=f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)-f[\psi (x)]{\psi }^{\prime }(x)$$

该结论很重要，可以直接用。用牛顿 - 莱布尼兹公式证明很容易。