8.1 向量及其运算

向量的基本概念

• 既有大小又有方向的量称为向量
• 模长为 $1$ 的向量称为单位向量，用 $\mathbf{e}$ 表示
• 模长为 $0$ 的向量称为零向量，记为 $0$，方向是任意的或不确定的

向量的坐标化

• 空间直角坐标系选择两两垂直的单位向量 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$，任意向量可表示为 $\mathbf{r}=x_1\mathbf{i}+x_2\mathbf{j}+x_3\mathbf{k}$，可简记为 $\mathbf{r}=(x_1,x_2,x_3)$，模〈长度）为 $|\mathbf{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

• 向量 $\mathbf{r}$ 与 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 的夹角分别记为 $\alpha ,\beta ,\gamma$，称为方向角

• 方向角的余弦称为方向余弦，有

  $$\begin{array}{rl}\cos \alpha & =\frac{x}{|\mathbf{r}|}\\ \cos \beta & =\frac{y}{|\mathbf{r}|}\\ \cos \gamma & =\frac{z}{|\mathbf{r}|}\end{array}{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$$

例 1

已知 $M_1(4,\sqrt{2},1),M_2(3,0,2)$，求向量 $\overrightarrow{M_1{M}_2}$ 的模、方向余弦、方向角。

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$$\begin{array}{c}\overrightarrow{M_1{M}_2}=(-1,-\sqrt{2},1)\Rightarrow \left|\overrightarrow{M_1{M}_2}\right|=\sqrt{1+2+1}=2\\ \cos \alpha =-\frac{1}{2},\cos \beta =-\frac{\sqrt{2}}{2},\cos \gamma =\frac{1}{2}\\ \alpha =\frac{2\pi }{3},\beta =\frac{3\pi }{4},\gamma =\frac{\pi }{3}\end{array}$$

向量的运算

线性的线性运算

$$\begin{array}{c}\mathbf{\alpha }=(x_1,y_1,z_1),\mathbf{\beta }=(x_2,y_2,z_2)\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }=(x_1+x_2,y_2+y_2,z_1+z_2)\\ k\mathbf{\alpha }=(k{x}_1,k{y}_1,k{z}_1)\end{array}\end{array}$$

向量的数量积

也称内积、点积。

$$\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }=|\mathbf{\alpha }||\mathbf{\beta }|\cos (\stackrel{\wedge }{\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }})$$

在直角坐标系下有

$$\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }={\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta }=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3$$

• 性质：可交换、分配、数乘、平方非负
• 应用：求模长、求夹角余弦、判定垂直、求正交投影

例 2

在空间直角坐标系下，求 $\mathbf{a}=(4,-3,4)$ 在 $\mathbf{b}=(2,2,1)$ 上的投影。

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有 $|\mathbf{b}|=\sqrt{4+4+1}=3$，$\mathbf{b}$ 方向上的单位向量 ${\mathbf{b}}_0=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$，故有

$$\mathbf{a}\cdot {\mathbf{b}}_0=4\times \frac{2}{3}-3\times \frac{2}{3}+4\times \frac{1}{3}=2$$

投影向量为 $2{\mathbf{b}}_0=\left(\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{2}{3}\right)$。

向量的向量积

• 也称外积、叉积。$\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }$ 是一个向量

• 方向与 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 垂直，且 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }$ 构成右手系

• 长度 $|\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }|=|\mathbf{\alpha }||\mathbf{\beta }|\sin (\stackrel{\wedge }{\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }})$，等于以 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 为边的平行四边形面积

• 在直角坐标系下有

  $$\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|$$

性质

• 反对称：$\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }=-\mathbf{\beta }\times \mathbf{\alpha }$
• 分配：$\mathbf{\alpha }\times (\mathbf{\beta }+\mathbf{\gamma })=\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }+\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\gamma }$
• 数乘：$(k\mathbf{\alpha })\times \mathbf{\beta }=\mathbf{\alpha }\times (k\mathbf{\beta })=k(\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta })$
• $\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\alpha }=0$

应用

• 求平行四边形面积（除以 2 就是三角形面积）
• 求点到直线的距离
• 求法向量
• 判断向量共线

例 3

已知 $\mathbf{a}=(3,-1,-2),\mathbf{b}=(1,2,-1)$，求 $2\mathbf{a}+3\mathbf{b}$ 与 $5\mathbf{a}-2\mathbf{b}$ 的内积与外积

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$$\begin{array}{c}{\mathbf{a}}^2=9+1+4=14\\ {\mathbf{b}}^2=1+4+1=6\\ \mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=3-2+2=3\\ \mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 3& -1& -2\\ 1& 2& -1\end{array}\right|=(1+4)\mathbf{i}+(3-2)\mathbf{j}+(6+1)\mathbf{k}=(5,1,7)\end{array}$$

故有

$$\begin{array}{rl}& (2\mathbf{a}+3\mathbf{b})\cdot (5\mathbf{a}-2\mathbf{b})\\ & =10{\mathbf{a}}^2+11\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-6{\mathbf{b}}^2\\ & =140+33-36\\ & =212\\ & \\ & (2\mathbf{a}+3\mathbf{b})\times (5\mathbf{a}-2\mathbf{b})\\ & =10\mathbf{a}\times \mathbf{a}-4\mathbf{a}\times \mathbf{b}+15\mathbf{b}\times \mathbf{a}-6\mathbf{b}\times \mathbf{b}\\ & =(-4-15)\mathbf{a}\times \mathbf{b}\\ & =-19(5,1,7)\\ & =(-95,-19,-133)\end{array}$$

向量的混合积

• 三个向量的混合积是一个数，$[\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }\mathbf{\gamma }]=(\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta })\cdot \mathbf{\gamma }$，绝对值等于以三个向量为棱的平行六面体体积

• 在空间直角坐标系下，有

  $$[\mathbf{\alpha }\mathbf{\beta }\mathbf{\gamma }]=\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|$$

TIP

• 向量 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 平行（共线）记为 $\mathbf{\alpha }\parallel \mathbf{b}$，等价于
  • 存在不全为零的 $x,y$，使得 $x\mathbf{\alpha }+y\mathbf{\beta }=0$
  • 对应坐标分量成比例，$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}$
  • 外积为零，$\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }=0$
• 向量 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 共面等价于
  • 存在不全为零的 $k_1,k_2,k_3$ 使得 $k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+k_3{\mathbf{\alpha }}_3=0$
  • 混合积为零，$[{\mathbf{\alpha }}_1{\mathbf{\alpha }}_2{\mathbf{\alpha }}_3]=\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|=0$

例 4

已知 $A(1,2,0)$, $B(2,3,1)$, $C(4,3,2)$, $M(x,y,3)$

1. 若 $A,B,M$ 三点共线，求 $x,y$ 的值
2. 若 $A,B,C,M$ 四点共面，求 $x,y$ 的关系

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1.

$$\begin{array}{c}\overrightarrow{AB}=(1,1,1)\\ \overrightarrow{AM}=(x-1,y-2,3)\\ \Rightarrow \overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=4\\ y=5\end{array}\end{array}$$

2.

有 $\overrightarrow{AC}=(3,0,2)$，故

$$\begin{array}{rl}& \left[\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}\overrightarrow{AM}\right]\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 3& 0& 2\\ x-1& y-2& 3\end{array}\right|\\ & =-3\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ y-2& 3\end{array}\right|-2\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ x-1& y-2\end{array}\right|\\ & =-3(3-y+2)-2(y-2-x+1)\\ & =2x+y-13=0\end{array}$$