8.1 向量及其运算

向量的基本概念

• 既有大小又有方向的量称为向量
• 模长为 $1$ 的向量称为单位向量，用 $\mathit{e}$ 表示
• 模长为 $0$ 的向量称为零向量，记为 $\mathbf{0}$，方向是任意的或不确定的

向量的坐标化

• 空间直角坐标系选择两两垂直的单位向量 $\mathit{i},\mathit{j},\mathit{k}$，任意向量可表示为 $\mathit{r}=x_1\mathit{i}+x_2\mathit{j}+x_3\mathit{k}$，可简记为 $\mathit{r}=(x_1,x_2,x_3)$，模〈长度）为 $|\mathit{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

• 向量 $\mathit{r}$ 与 $\mathit{i},\mathit{j},\mathit{k}$ 的夹角分别记为 $\alpha ,\beta ,\gamma$，称为方向角

• 方向角的余弦称为方向余弦，有

  $$\begin{array}{rl}\cos \alpha & =\frac{x}{|\mathit{r}|}\\ \cos \beta & =\frac{y}{|\mathit{r}|}\\ \cos \gamma & =\frac{z}{|\mathit{r}|}\end{array}{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$$

例 1

已知 $M_1(4,\sqrt{2},1),M_2(3,0,2)$，求向量 $\overrightarrow{M_1{M}_2}$ 的模、方向余弦、方向角。

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$$\begin{array}{c}\overrightarrow{M_1{M}_2}=(-1,-\sqrt{2},1)\Rightarrow |\overrightarrow{M_1{M}_2}|=\sqrt{1+2+1}=2\\ \cos \alpha =-\frac{1}{2},\cos \beta =-\frac{\sqrt{2}}{2},\cos \gamma =\frac{1}{2}\\ \alpha =\frac{2\pi }{3},\beta =\frac{3\pi }{4},\gamma =\frac{\pi }{3}\end{array}$$

向量的运算

线性的线性运算

$$\begin{array}{c}\mathit{\alpha }=(x_1,y_1,z_1),\mathit{\beta }=(x_2,y_2,z_2)\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}\mathit{\alpha }+\mathit{\beta }=(x_1+x_2,y_2+y_2,z_1+z_2)\\ k\mathit{\alpha }=(k{x}_1,k{y}_1,k{z}_1)\end{array}\end{array}$$

向量的数量积

也称内积、点积。

$$\mathit{\alpha }\cdot \mathit{\beta }=|\mathit{\alpha }||\mathit{\beta }|\cos (\stackrel{\wedge }{\mathit{\alpha },\mathit{\beta }})$$

在直角坐标系下有

$$\mathit{\alpha }\cdot \mathit{\beta }={\mathit{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathit{\beta }=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3$$

• 性质：可交换、分配、数乘、平方非负
• 应用：求模长、求夹角余弦、判定垂直、求正交投影

例 2

在空间直角坐标系下，求 $\mathit{a}=(4,-3,4)$ 在 $\mathit{b}=(2,2,1)$ 上的投影。

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有 $|\mathit{b}|=\sqrt{4+4+1}=3$，$\mathit{b}$ 方向上的单位向量 ${\mathit{b}}_0=({\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}})$，故有

$$\mathit{a}\cdot {\mathit{b}}_0=4\times \frac{2}{3}-3\times \frac{2}{3}+4\times \frac{1}{3}=2$$

投影向量为 $2{\mathit{b}}_0=({\displaystyle \frac{4}{3}},{\displaystyle \frac{4}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}})$。

向量的向量积

• 也称外积、叉积。$\mathit{\alpha }\times \mathit{\beta }$ 是一个向量

• 方向与 $\mathit{\alpha },\mathit{\beta }$ 垂直，且 $\mathit{\alpha },\mathit{\beta },\mathit{\alpha }\times \mathit{\beta }$ 构成右手系

• 长度 $|\mathit{\alpha }\times \mathit{\beta }|=|\mathit{\alpha }||\mathit{\beta }|\sin (\stackrel{\wedge }{\mathit{\alpha },\mathit{\beta }})$，等于以 $\mathit{\alpha },\mathit{\beta }$ 为边的平行四边形面积

• 在直角坐标系下有

  $$\mathit{\alpha }\times \mathit{\beta }=\left|\begin{array}{ccc}\mathit{i}& \mathit{j}& \mathit{k}\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|$$

性质

• 反对称：$\mathit{\alpha }\times \mathit{\beta }=-\mathit{\beta }\times \mathit{\alpha }$
• 分配：$\mathit{\alpha }\times (\mathit{\beta }+\mathit{\gamma })=\mathit{\alpha }\times \mathit{\beta }+\mathit{\alpha }\times \mathit{\gamma }$
• 数乘：$(k\mathit{\alpha })\times \mathit{\beta }=\mathit{\alpha }\times (k\mathit{\beta })=k(\mathit{\alpha }\times \mathit{\beta })$
• $\mathit{\alpha }\times \mathit{\alpha }=\mathbf{0}$

应用

• 求平行四边形面积（除以 2 就是三角形面积）
• 求点到直线的距离
• 求法向量
• 判断向量共线

例 3

已知 $\mathit{a}=(3,-1,-2),\mathit{b}=(1,2,-1)$，求 $2\mathit{a}+3\mathit{b}$ 与 $5\mathit{a}-2\mathit{b}$ 的内积与外积

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$$\begin{array}{c}{\mathit{a}}^2=9+1+4=14\\ {\mathit{b}}^2=1+4+1=6\\ \mathit{a}\cdot \mathit{b}=3-2+2=3\\ \mathit{a}\times \mathit{b}=\left|\begin{array}{ccc}\mathit{i}& \mathit{j}& \mathit{k}\\ 3& -1& -2\\ 1& 2& -1\end{array}\right|=(1+4)\mathit{i}+(3-2)\mathit{j}+(6+1)\mathit{k}=(5,1,7)\end{array}$$

故有

$$\begin{array}{rl}& (2\mathit{a}+3\mathit{b})\cdot (5\mathit{a}-2\mathit{b})\\ & =10{\mathit{a}}^2+11\mathit{a}\cdot \mathit{b}-6{\mathit{b}}^2\\ & =140+33-36\\ & =212\\ \\ & (2\mathit{a}+3\mathit{b})\times (5\mathit{a}-2\mathit{b})\\ & =10\mathit{a}\times \mathit{a}-4\mathit{a}\times \mathit{b}+15\mathit{b}\times \mathit{a}-6\mathit{b}\times \mathit{b}\\ & =(-4-15)\mathit{a}\times \mathit{b}\\ & =-19(5,1,7)\\ & =(-95,-19,-133)\end{array}$$

向量的混合积

• 三个向量的混合积是一个数，$[\mathit{\alpha }\mathit{\beta }\mathit{\gamma }]=(\mathit{\alpha }\times \mathit{\beta })\cdot \mathit{\gamma }$，绝对值等于以三个向量为棱的平行六面体体积

• 在空间直角坐标系下，有

  $$[\mathit{\alpha }\mathit{\beta }\mathit{\gamma }]=\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|$$

TIP

• 向量 $\mathit{\alpha },\mathit{\beta }$ 平行（共线）记为 $\mathit{\alpha }\parallel \mathit{b}$，等价于
  • 存在不全为零的 $x,y$，使得 $x\mathit{\alpha }+y\mathit{\beta }=\mathbf{0}$
  • 对应坐标分量成比例，${\displaystyle \frac{x_1}{x_2}}={\displaystyle \frac{y_1}{y_2}}={\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}$
  • 外积为零，$\mathit{\alpha }\times \mathit{\beta }=\mathbf{0}$
• 向量 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 共面等价于
  • 存在不全为零的 $k_1,k_2,k_3$ 使得 $k_1{\mathit{\alpha }}_1+k_2{\mathit{\alpha }}_2+k_3{\mathit{\alpha }}_3=\mathbf{0}$
  • 混合积为零，$[{\mathit{\alpha }}_1{\mathit{\alpha }}_2{\mathit{\alpha }}_3]=\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|=\mathbf{0}$

例 4

已知 $A(1,2,0)$, $B(2,3,1)$, $C(4,3,2)$, $M(x,y,3)$

1. 若 $A,B,M$ 三点共线，求 $x,y$ 的值
2. 若 $A,B,C,M$ 四点共面，求 $x,y$ 的关系

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1.

$$\begin{array}{c}\overrightarrow{AB}=(1,1,1)\\ \overrightarrow{AM}=(x-1,y-2,3)\\ \Rightarrow \overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=4\\ y=5\end{array}\end{array}$$

2.

有 $\overrightarrow{AC}=(3,0,2)$，故

$$\begin{array}{rl}& [\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}\overrightarrow{AM}]\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 3& 0& 2\\ x-1& y-2& 3\end{array}\right|\\ & =-3\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ y-2& 3\end{array}\right|-2\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ x-1& y-2\end{array}\right|\\ & =-3(3-y+2)-2(y-2-x+1)\\ & =2x+y-13=0\end{array}$$