6.2 一阶微分方程

可分离变量型

定义

形如

$$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y)\\ \mathrm{或}P(x)Q(x)\mathrm{d}x+M(x)N(y)\mathrm{d}y=0\end{array}$$

的方程。

解法

把 $y^{\prime }$ 写成 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$，将 $x$ 集中在等号一侧，$y$ 放在另一侧，然后两边同时积分

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y)\Rightarrow \int \frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=\int f(x)\mathrm{d}x$$

TIP

默认 $g(y)\ne 0$， 直接除过来，可能丢掉部分解（「奇解」），求通解不考虑奇解。

例 1

$$y^{\prime }\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-y^2}$$

---

$$\begin{array}{rl}\sqrt{1-x^2}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}& =\sqrt{1-y^2}\\ \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{1-y^2}}& =\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}\\ \int \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{1-y^2}}& =\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}\\ \arcsin y& =\arcsin x+C\end{array}$$

此即所求通解。

TIP

不一定要化成 $y=\cdots$ 的形式，上面这样就可以了。

通解与奇解

求解时，我们通常不关注 $x$ 和 $y$ 的具体值。

这里 $\sqrt{1-y^2}=0$ 时，$y=\pm 1$，带回发现确实是方程的解，但没有放在通解中。这样的解称为奇解。

本题中，通解和奇解的关系是这样的：

可以看出，奇解和通解看上去很不一样，但是奇解是通解的包络。

一阶齐次微分方程

定义

形如

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=g\left(\frac{y}{x}\right)$$

的方程。

更简便的判断方法是，不算 $y^{\prime }$，所有项 $x,y$ 的次数之和是相等的。例如，

$$x^{2}y\cdot y^{\prime }+x^3=y^3$$

是一阶齐次微分方程。

解法

令 $u={\displaystyle \frac{y}{x}}$，则

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}(ux)}{\mathrm{d}x}=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$$

故方程转化为

$$\frac{\mathrm{d}u}{g(u)-u}=\frac{\mathrm{d}x}{x}$$

例 2

求微分方程

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{x}-\frac{1}{2}{\left(\frac{y}{x}\right)}^3$$

满足 $y{|}_{x=1}=1$ 的特解。

---

令 $u={\displaystyle \frac{y}{x}}$，故 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=u+x{\displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}}$，故有

$$\begin{array}{rl}u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}& =u-\frac{1}{2}{u}^3\\ -2\frac{\mathrm{d}u}{u^3}& =\frac{\mathrm{d}x}{x}\\ \int -2\frac{\mathrm{d}u}{u^3}& =\int \frac{\mathrm{d}x}{x}\\ \frac{1}{u^2}& =\ln |x|+C\end{array}$$

由于只求 $x=1$ 有定义的特解，故只考虑 $x>0$

$$\frac{1}{u^2}=\ln x+C$$

将 $x=1$，$u={{\displaystyle \frac{y}{x}}|}_{x=y=1}=1$ 代入得到 $C=1$，故有

$$\begin{array}{c}\frac{1}{u^2}=\frac{x^2}{y^2}=\ln x+1\\ \Rightarrow y=\frac{x}{\sqrt{\ln x+1}}\end{array}$$

一阶线性微分方程

定义

$$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$$

当 $q(x)\equiv 0$ 时称为齐次，否则称为非齐次。

WARNING

注意这里「齐次」的概念和前面的不一样。糟糕的翻译问题

解法

教材使用的是常数变易法，比较复杂，且考研不考。最优方法把通解公式背下来。

$$y=e^{-\int p(x)\mathrm{d}x}[\int q(x)e^{\int p(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C]$$

例 3

设某曲线 $y=f(x)$ 过点 $(1,1)$，其切线的纵截距等于切点横坐标，求该曲线的方程。

---

TIP

用 $x,y$ 表示点的坐标，用 $X,Y$ 表达切线方程。

设切点为 $(x,y)$，切线方程为

$$Y-y=y^{\prime }(X-x)$$

令 $X=0$，有

$$Y=y-x{y}^{\prime }=x$$

这是一阶线性微分方程。

草稿纸：

• $y^{\prime }-{\displaystyle \frac{1}{x}}y=-1$
• $p(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x}}$
• $q(x)=-1$

故通解为

$$\begin{array}{rl}y& =e^{\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x}[\int (-1)e^{-\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C]\\ & =e^{\ln |x|}[-\int e^{-\ln |x|}\mathrm{d}x+C]\\ & =|x|[-\int \frac{1}{|x|}\mathrm{d}x+C]\\ & =x[-\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x+C]\\ & =-x\ln |x|+Cx\\ & =-x\ln x+Cx\end{array}$$

TIP

这里第三行中的两个 $|x|$ 的绝对值符号可以相互抵消。这一点在求通解时也可以用。

最后一步去绝对值是因为求特解，$x>0$。

将 $x=y=1$ 代入得到 $C=1$，故有

$$y=x-x\ln x$$

积分方程

含有变限积分的方程，两端对 $x$ 求导。再令积分上下限相等，得到定解。

例 4

求连续函数 $f(x)$，使其满足

$$f(x)+2{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=x^2$$

---

由于 $f(x)$ 连续，故 $2{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 可导，故 $f(x)=-2{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+x^2$ 可导。

TIP

按这个思路继续，可以推出 $f(x)$ 任意阶可导。

两端对 $x$ 求导得到

$$f^{\prime }(x)+2f(x)=2x$$

法一：

瞪眼法看出 $f^{\prime }(x)+2f(x)$ 应该乘一个 $e^{2x}$ 来发生关系：

$$\begin{array}{c}2e^{2x}f(x)+f^{\prime }(x)e^{2x}=2x{e}^{2x}\\ \Rightarrow e^{2x}f(x)=\int 2x{e}^{2x}\mathrm{d}x=x{e}^{2x}-\frac{e^{2x}}{2}+C\\ \Rightarrow f(x)=x-\frac{1}{2}+C{e}^{-2x}\end{array}$$

法二：

代公式。

草稿纸：

• $p(x)=2$
• $q(x)=2x$

$$\begin{array}{rl}f(x)& =e^{-\int 2\mathrm{d}x}[\int 2x{e}^{\int 2\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C]\\ & =e^{-2x}[\int 2x{e}^{2x}\mathrm{d}x+C]\\ & =e^{-2x}(x{e}^{2x}-\frac{1}{2}{e}^{2x}+C)\\ & =x-\frac{1}{2}+C{e}^{-2x}\end{array}$$

别急！还没结束！再看一眼原来的式子：

$$f(x)+2{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=x^2$$

令 $x=0$，则定积分这一项的值为 $0$，有

$$\begin{array}{rl}f(0)& =0\\ 0-\frac{1}{2}+C{e}^0& =0\\ C& =\frac{1}{2}\end{array}$$

因此，有 $f(x)=x-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-2x}$。

TIP

个别积分方程令积分上下限相等后，式子恒成立，此时直接回答 $C\in \mathbb{R}$。

例 5

$${\int }_0^{1}f(tx)\mathrm{d}t=x^2$$

---

这里介绍将此类微分方程转化为积分方程的方法。

令 $u=tx$，则有（注意在积分中 $t$ 才是变量，$x$ 视为常量）

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{1}f(u)\mathrm{d}\frac{u}{x}& =x^2\\ \frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u& =x^2\end{array}$$

接下来按上面的方法处理即可。

伯努利方程

定义

形如

$$y^{\prime }+p(x)y=q(x)y^{\alpha }(\alpha \ne 0,1)$$

的方程称为伯努利方程。

解法

首先确定 $\alpha$，令 $z=y^{1-\alpha }$，将方程化为

$$z^{\prime }+(1-\alpha )p(x)z=(1-\alpha )q(x)$$

记忆：橙色部分为一阶线性微分方程的公式，补上 $(1-\alpha )$ 即可。

例 6

求方程通解：

$$y^{\prime }+\frac{4x}{x^2-1}y=x\sqrt{y}$$

---

$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$，令 $z=y^{1-\alpha }=\sqrt{y}$，则有

$$z^{\prime }+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \frac{4x}{x^2-1}z={\displaystyle \frac{1}{2}}x$$

故有

$$\begin{array}{rl}z=& =e^{-\int \frac{4x}{x^2-1}\mathrm{d}x}(\int \frac{1}{2}x\cdot e^{\int \frac{4x}{x^2-1}\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C)\\ & =\frac{1}{x^2-1}[\int \frac{x}{2}(x^2-1)\mathrm{d}x+C]\\ & =\frac{x^2(x^2-2)+C}{8(x^2-1)}\end{array}$$

故有

$$y={\left[\frac{x^2(x^2-2)+C}{8(x^2-1)}\right]}^2$$

总结

例 7

求 $y^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{xy+y^3}}$ 的通解。

---

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}& =\frac{1}{xy+y^3}\\ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}& =xy+y^3\\ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}-yx& =y^3\end{array}$$

故这是关于 $x=x(y)$ 的一阶线性微分方程，有

$$\begin{array}{rl}x& =e^{\int y\mathrm{d}y}(\int y^3{e}^{-\int y\mathrm{d}y}\mathrm{d}y+C)\\ & =e^{\frac{y^2}{2}}(\int y^3{e}^{-\frac{y^2}{2}}\mathrm{d}y+C)\\ & =e^{\frac{y^2}{2}}[2\int \frac{y^2}{2}{e}^{-\frac{y^2}{2}}\mathrm{d}\left(\frac{y^2}{2}\right)+C]\\ & =e^{\frac{y^2}{2}}[-2\int \frac{y^2}{2}\mathrm{d}(e^{-\frac{y^2}{2}})+C]\\ & =e^{\frac{y^2}{2}}[-y^2{e}^{-\frac{y^2}{2}}+2\int e^{-\frac{y^2}{2}}\mathrm{d}\left(\frac{y^2}{2}\right)+C]\\ & =e^{\frac{y^2}{2}}[-y^2{e}^{-\frac{y^2}{2}}-2e^{-\frac{y^2}{2}}+C]\\ & =C{e}^{\frac{y^2}{2}}-y^2-2\end{array}$$