10.4 格林公式

CAUTION

必考点。

若 $D$ 为单联通或多联通区域，$L$ 为正向边界，$P,Q$ 在 $D$ 上有一阶连续偏导数，则

$${\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

NOTE

格林公式是牛顿 - 莱布尼兹公式向重积分的推广。对格林公式的几何理解可参考 这篇知乎文章。

例 1

设 $L$ 表示正向圆周 $x^2+y^2=9$，求 ${\oint }_L(2xy-2y)\mathrm{d}x+(x^2-4x)\mathrm{d}y$

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$$\begin{array}{rl}\frac{\partial Q}{\partial x}& =\frac{\partial }{\partial x}(x^2-4x)=2x-4\\ \frac{\partial P}{\partial y}& =\frac{\partial }{\partial y}(2xy-2y)=2x-2\end{array}$$

则有

$$I={\iint }_D(-2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-2S_D=-2\times \pi \times 9=-18\pi$$

若所求曲线积分不封闭，可以通过「补线」的方式将其转化为封闭区域，从而使用格林公式。

例 2

设曲线 $L$ 表示 $x+y=1$ 在第一象限的线段与 $x^2+y^2=1$ 在第二象限的圆弧所构成的曲线的正向，求 ${\int }_L(x^2-2y)\mathrm{d}x+(2x+y{e}^y)\mathrm{d}y$。

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绘出草图。考虑补上一条 $y=0$ 使其成为封闭区域：

不妨记 $y=0(-1\le x\le 0)$ 为 $L_1$，则根据格林公式有

$$\begin{array}{rl}{\oint }_{L+L_1}& ={\iint }_D\left[\frac{\partial }{\partial x}(3x+y{e}^y)-\frac{\partial }{\partial y}(x^2-2y)\right]\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\iint }_D(3+2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =5S_D\\ & =5\times \left(\frac{1}{2}+\frac{\pi }{4}\right)\end{array}$$

现在要减去 $L_1:y=0(-1\le x\le 0)$ 的曲线积分。$y=0$，因此含 $y$ 的项均可略去。

$$\begin{array}{rl}{\int }_{L_1}& ={\int }_{-1}^1{x}^2\mathrm{d}x={\frac{1}{3}x|}_{-1}^1=\frac{2}{3}\end{array}$$

因此有

$${\int }_L={\oint }_{L+L_1}-{\int }_{L_1}=\frac{5\pi }{4}+\frac{11}{6}$$

路径无关的曲线积分

若 $P,Q$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则 $D$ 内下列命题等价：

• $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 恒成立
• 沿任意闭合曲线 ${\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=0$
• 曲线积分 ${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$ 与路径无关
• 存在函数 $u$，使得 $\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$

NOTE

向量 $(P,Q)$ 即可用于描述一个保守力，曲线积分与路径无关对应其做功与路径无关，闭合曲线积分恒为 $0$ 对应绕一圈到原位置则做功为 $0$，函数 $u$ 即对应场中某点的势能。

例 3

求 ${\int }_L(x{y}^2+2x)\mathrm{d}x+(x^{2}y+2)\mathrm{d}y$，其中 $L$ 表示一条从 $(1,2)$ 到 $(2,4)$ 的曲线。

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都这么问了，大概率是路径无关的曲线积分。但是需要验证。

$$\begin{array}{c}\frac{\partial Q}{\partial x}=2xy\frac{\partial P}{\partial y}=2xy\\ \Rightarrow \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}\end{array}$$

因此该曲线积分与路径无关。

取什么路径最好算？通常并不是连接两点的线段，而是平行于坐标轴的折线。

取 $L_1:y=2,1\le x\le 2$，$L_2:x=2,2\le y\le 4$，则有

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_{L_1}+{\int }_{L_2}\\ & ={\int }_1^2(4x+2x)\mathrm{d}x+{\int }_2^4(4y+2)\mathrm{d}y\\ & ={\left[3x^2\right]}_1^2+{\left[2y^2+2y\right]}_2^4\\ & =37\end{array}$$

TIP

上面这道题是主动暴露了「路径无关」的考点，因此简单。如果出恶心，可能会给一个非常难算的曲线，需要你自己发现路径无关并采用更简单的路径计算。

例 4

验证 $(x{y}^2+y)\mathrm{d}x+(x^2+x-2)\mathrm{d}y$ 是某个函数 $u$ 的全微分，并求出这个函数 $u$。

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$$\begin{array}{rlrl}Q& =x^{2}y+x-2& \frac{\partial Q}{\partial x}& =2xy+1\\ P& =x{y}^2+y& \frac{\partial P}{\partial y}& =2xy+1\end{array}\Rightarrow \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$$

因此 $I$ 是某个函数 $u$ 的全微分。则有

$$\begin{array}{rl}u& =\int Q\mathrm{d}x=\int (x{y}^2+y)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{x}^2{y}^2+xy+f(y)\\ u& =\int P\mathrm{d}x=\int (x^{2}y+x-2)\mathrm{d}y=\frac{1}{2}{x}^2{y}^2+xy-2y+f(x)\end{array}$$

WARNING

此处 $\int Q\mathrm{d}x$ 是关于 $x$ 求导，将 $y$ 视为常数，因此关于 $y$ 的任意函数求导都是 $0$，所以最后的积分常数不再是 $C$，而是 $f(y)$。$\int P\mathrm{d}y$ 同理。

综合两式，有

$$u=\frac{1}{2}{x}^2{y}^2+xy-2y+C$$