10.4 格林公式

CAUTION

必考点。

若 $D$ 为单联通或多联通区域， $L$ 为正向边界， $P, Q$ 在 $D$ 上有一阶连续偏导数，则

\oint_{L} P d x + Q d y = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y

NOTE

格林公式是牛顿 - 莱布尼兹公式向重积分的推广。对格林公式的几何理解可参考这篇知乎文章。

例 1

设 $L$ 表示正向圆周 $x^{2} + y^{2} = 9$ ，求 $\oint_{L} (2 x y - 2 y) d x + (x^{2} - 4 x) d y$

\begin{aligned} \frac{\partial Q}{\partial x} & = \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} - 4 x) = 2 x - 4 \\ \frac{\partial P}{\partial y} & = \frac{\partial}{\partial y} (2 x y - 2 y) = 2 x - 2 \end{aligned}

则有

I = \iint_{D} (- 2) d x d y = - 2 S_{D} = - 2 \times π \times 9 = - 18 π

若所求曲线积分不封闭，可以通过「补线」的方式将其转化为封闭区域，从而使用格林公式。

例 2

设曲线 $L$ 表示 $x + y = 1$ 在第一象限的线段与 $x^{2} + y^{2} = 1$ 在第二象限的圆弧所构成的曲线的正向，求 $\int_{L} (x^{2} - 2 y) d x + (2 x + y e^{y}) d y$ 。

绘出草图。考虑补上一条 $y = 0$ 使其成为封闭区域：

不妨记 $y = 0 (- 1 \leq x \leq 0)$ 为 $L_{1}$ ，则根据格林公式有

\begin{aligned} \oint_{L + L_{1}} & = \iint_{D} [\frac{\partial}{\partial x} (3 x + y e^{y}) - \frac{\partial}{\partial y} (x^{2} - 2 y)] d x d y \\ = \iint_{D} (3 + 2) d x d y \\ = 5 S_{D} \\ = 5 \times (\frac{1}{2} + \frac{π}{4}) \end{aligned}

现在要减去 $L_{1} : y = 0 (- 1 \leq x \leq 0)$ 的曲线积分。 $y = 0$ ，因此含 $y$ 的项均可略去。

\begin{aligned} \int_{L_{1}} & = \int_{- 1}^{1} x^{2} d x = {\frac{1}{3} x |}_{- 1}^{1} = \frac{2}{3} \end{aligned}

因此有

\int_{L} = \oint_{L + L_{1}} - \int_{L_{1}} = \frac{5 π}{4} + \frac{11}{6}

路径无关的曲线积分

若 $P, Q$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则 $D$ 内下列命题等价：

NOTE

向量 $(P, Q)$ 即可用于描述一个保守力，曲线积分与路径无关对应其做功与路径无关，闭合曲线积分恒为 $0$ 对应绕一圈到原位置则做功为 $0$ ，函数 $u$ 即对应场中某点的势能。

例 3

求 $\int_{L} (x y^{2} + 2 x) d x + (x^{2} y + 2) d y$ ，其中 $L$ 表示一条从 $(1, 2)$ 到 $(2, 4)$ 的曲线。

都这么问了，大概率是路径无关的曲线积分。但是需要验证。

\begin{matrix} \frac{\partial Q}{\partial x} = 2 x y \frac{\partial P}{\partial y} = 2 x y \\ \Rightarrow \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} \end{matrix}

因此该曲线积分与路径无关。

取什么路径最好算？通常并不是连接两点的线段，而是平行于坐标轴的折线。

取 $L_{1} : y = 2, 1 \leq x \leq 2$ ， $L_{2} : x = 2, 2 \leq y \leq 4$ ，则有

\begin{aligned} I & = \int_{L_{1}} + \int_{L_{2}} \\ = \int_{1}^{2} (4 x + 2 x) d x + \int_{2}^{4} (4 y + 2) d y \\ = {[3 x^{2}]}_{1}^{2} + {[2 y^{2} + 2 y]}_{2}^{4} \\ = 37 \end{aligned}

TIP

上面这道题是主动暴露了「路径无关」的考点，因此简单。如果出恶心，可能会给一个非常难算的曲线，需要你自己发现路径无关并采用更简单的路径计算。

例 4

验证 $(x y^{2} + y) d x + (x^{2} + x - 2) d y$ 是某个函数 $u$ 的全微分，并求出这个函数 $u$ 。

\begin{aligned} Q & = x^{2} y + x - 2 & \frac{\partial Q}{\partial x} & = 2 x y + 1 \\ P & = x y^{2} + y & \frac{\partial P}{\partial y} & = 2 x y + 1 \end{aligned} \Rightarrow \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}

因此 $I$ 是某个函数 $u$ 的全微分。则有

\begin{aligned} u & = \int Q d x = \int (x y^{2} + y) d x = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + x y + f (y) \\ u & = \int P d x = \int (x^{2} y + x - 2) d y = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + x y - 2 y + f (x) \end{aligned}

WARNING

此处 $\int Q d x$ 是关于 $x$ 求导，将 $y$ 视为常数，因此关于 $y$ 的任意函数求导都是 $0$ ，所以最后的积分常数不再是 $C$ ，而是 $f (y)$ 。 $\int P d y$ 同理。

综合两式，有

u = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + x y - 2 y + C