10.7 高斯公式与斯托克斯公式

高斯公式

CAUTION

必考点。

在格林公式的基础上推广到曲面积分，则有高斯公式：

分片光滑曲面 $\Sigma$ 围成闭合区域 $\Omega$，$P,Q,R$ 具有一阶连续偏导数，则有

$$\subset \supset {\iint }_{\Sigma \mathrm{外}}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iiint }_{\Omega }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}V$$

例 1

设 $\Sigma$ 表示圆柱体 $x^2+y^2\le 9(0\le z\le 3)$ 整个表面的外侧，求：

1. ${\displaystyle \subset \supset {\iint }_{\Sigma }x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$
2. 设 ${\Sigma }_1$ 表示改圆柱侧面的外侧，求 ${\displaystyle \subset \supset {\iint }_{{\Sigma }_1}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$

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1.

$$\frac{\partial P}{\partial x}=1\frac{\partial Q}{\partial y}=1\frac{\partial R}{\partial z}=1$$

因此有

$$\subset \supset {\iint }_{\Sigma }={\iiint }_{V}3\mathrm{d}V=3V=3\times 3\times 9\pi =81\pi$$

2. 设上底面上侧为 ${\Sigma }_2$，下底面下侧为 ${\Sigma }_3$。

有 ${\Sigma }_2:\{\begin{array}{l}z=3\\ x^2+y^2\le 9\end{array}$，$\mathrm{d}z=0$。因此有

$$\begin{array}{rl}{\iint }_{{\Sigma }_2}& =\cancel{x\mathrm{d}y\mathrm{d}z}+\cancel{y\mathrm{d}z\mathrm{d}x}+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =3\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =3\times 9\pi =27\pi \end{array}$$

有 ${\Sigma }_3:\{\begin{array}{l}z=0\\ x^2+y^2\le 9\end{array}$，$\mathrm{d}z=0$。同理有

$${\iint }_{{\Sigma }_3}=-0\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$$

则有

$${\iint }_{{\Sigma }_1}=\subset \supset {\iint }_{\Sigma }-{\iint }_{{\Sigma }_2}-{\iint }_{{\Sigma }_3}=54\pi$$

斯托克斯公式

将曲线积分转化为曲面积分的方法，用得不多。

设 $\Sigma$ 是以 $L$ 为边界的空间曲面，分段 / 分片光滑，曲线正向与曲面上侧符合右手规则

$$\oint P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{d}y\mathrm{d}z& \mathrm{d}z\mathrm{d}x& \mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}& {\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}& {\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}}\\ P& Q& R\end{array}\right|={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}& {\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}& {\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}}\\ P& Q& R\end{array}\right|\mathrm{d}S$$

例 2

设 $L$ 是柱面 $x^2+y^2=1$ 和平面 $y+z=0$ 的交线，从 $z$ 轴正向往负向看去为逆时针方向，求曲线积分 ${\displaystyle {\oint }_{L}z\mathrm{d}x+y\mathrm{d}z}$

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法 1：直接用极坐标求解。

设 $x=cos\theta ,y=\sin \theta$，则平面可表示为 $z=-\sin \theta$。则有

$$\begin{array}{rl}{\oint }_L& ={\int }_0^{2\pi }-\sin \theta \mathrm{d}\cos \theta +\sin \theta \mathrm{d}(-\sin \theta )\\ & ={\int }_0^{2\pi }({\sin }^2\theta -\sin \theta \cos \theta )\mathrm{d}\theta \\ & =-\frac{1}{4}{\int }_0^{2\pi }(\cos 2\theta +\sin 2\theta -1)\mathrm{d}2\theta \\ & =-\frac{1}{4}[\sin 2\theta -\cos 2\theta -2\theta {]}_0^{2\pi }\\ & =\pi \end{array}$$

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法 2：利用斯托克斯公式，则 $P=z,R=y$

$$\begin{array}{rl}{\oint }_L& ={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{d}y\mathrm{d}z& \mathrm{d}z\mathrm{d}x& \mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}& {\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}& {\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}}\\ z& 0& y\end{array}\right|\\ & ={\iint }_{\Sigma }\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\mathrm{d}z\mathrm{d}x\end{array}$$

根据几何意义，${\displaystyle {\iint }_{\Sigma }\mathrm{d}y\mathrm{d}z}$ 是 $\Sigma$ 在 $yOz$ 上的投影面积：

投影为一条线段，有 ${\displaystyle {\iint }_{\Sigma }\mathrm{d}y\mathrm{d}z=0}$。

${\displaystyle {\iint }_{\Sigma }\mathrm{d}z\mathrm{d}x}$ 是 $\Sigma$ 在 $xOz$ 上的投影面积。要在方程中消去 $y$。

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=1\\ y+z=0\end{array}\Rightarrow x^2+z^2=1$$

投影为一个半径为 $1$ 的圆，有 ${\displaystyle {\iint }_{\Sigma }\mathrm{d}z\mathrm{d}x=\pi }$。

综上，${\displaystyle {\oint }_L=0+\pi =\pi }$。