1.14* 补充：不动点法

知识储备

不动点

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有定义，若存在 $a^{\ast }\in [a,b]$，使得 $a^{\ast }=f(a^{\ast })$，则称 $a^{\ast }$ 为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个不动点。

压缩映射

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有定义，$f([a,b])\subset [a,b]$，且存在常数 $r(0<r<1)$，使得对 $\forall x,y\in [a,b]$，都有 $|f(x)-f(y)|\le r|x-y|$ 成立，则称 $f$ 为 $[a,b]$ 上的一个压缩映射，称 $r$ 为压缩常数。

此外，若 $|f^{\prime }(x)|\le r<1$，则同样有 $f$ 为 $[a,b]$ 上的一个压缩映射

定理内容

压缩映射定理（不动点定理）

设 $f$ 为 $[a,b]$ 上的一个压缩映射，则

1. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上存在唯一不动点 $a^{\ast }$；（不动点唯一）

2. 对于任意初始值 $a_1\in [a,b]$ 和递推公式 $a_{n+1}=f(a_n)(n=1,2,\cdots )$ 产生的数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $f(x)$ 的唯一不动点 $a^{\ast }$；（收敛）

3. 事后估计 $|a_n-a^{\ast }|\le \frac{r}{1-r}|a_n-a_{n-1}|$ 与先验估计 $|a_n-a^{\ast }|\le \frac{r^{n-1}}{1-r}|a_2-a_1|$ 成立。（摆动变小）

证明过程

（1）首先证明 $f(x)$ 有不动点：

设 $g(x)=f(x)-x$，则 $g(a)\ge 0,g(b)\le 0,g(a)g(b)\le 0$，则 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 至少有一个零点，即 $f(x)$ 至少有一个不动点

然后反证法说明这样的点只有一个：

假设存在另一个不动点 $a^{\ast \ast }$，则 $|a^{\ast }-a^{\ast \ast }|=|f(a^{\ast })-f(a^{\ast \ast })|\le r|a^{\ast }-a^{\ast \ast }|$，又 $0<r<1$, 则 $a^{\ast }-a^{\ast \ast }=0$，即 $a^{\ast }=a^{\ast \ast }$，故 $f(x)$ 只有唯一一个不动点。

（2）首先由夹逼定理证明以下内容：

当 $x_1=a>0,|x_{n+1}|\le q|x_n|(n=1,2,\cdots )$，其中 $q$ 为常数且 $0<q<1$，则有 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$；

而后对于递推公式 $a_{n+1}=f(a_n)(n=1,2,\cdots )$ 构造 $|a_{n+1}-a^{\ast }|\le q|a_n-a^{\ast }|(n=1,2,\cdots )$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a^{\ast }$。

（3）放缩有

$$|a_n-a^{\ast }|=|f(a_{n-1})-f(a^{\ast })|\le r|a_{n-1}-a^{\ast }|\le r(|a_{n-1}-a_n|+|a_n-a^{\ast }|)$$

移项即得事后估计 $|a_n-a^{\ast }|\le \frac{r}{1-r}|a_n-a_{n-1}|$

又

$$|a_n-a_{n-1}|=|f(a_{n-1})-f(a_{n-2})|\le r|a_{n-1}-a_{n-2}|\le \cdots \le r^{n-2}|a_2-a_1|$$

故 $|a_n-a^{\ast }|\le \frac{r}{1-r}|a_n-a_{n-1}|\le \frac{r^{n-1}}{1-r}|a_2-a_1|$

食用

判断不动点然后利用证明（2）进行构造

练习册 A 13 页有相应练习

补充

不动点与数列通项

死去的高中数学又开始攻击我

对于数列递推 $x_{n+1}=\frac{a{x}_n+b}{c{x}_n+d}$，其具有不动点方程

$$x=\frac{ax+b}{cx+d}$$

当该方程有根时，

（1）若 $x$ 的两个根相等记为 $x_0$，则 $\{\frac{1}{x_n-x_0}\}$ 为等差数列；

（2）若 $x$ 的两个根不等分别为 $x_1,x_2$，则 $\{\frac{x_n-x_1}{x_n-x_2}\}$ 为等比数列。

当该方程无实根时，数列 $\{x_n\}$ 为周期数列。

从这个角度看，你也可以先求通项再求数列极限。