1.14* 补充：不动点法

知识储备

不动点

设函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上有定义，若存在 $a^{*} \in [a, b]$ ，使得 $a^{*} = f (a^{*})$ ，则称 $a^{*}$ 为 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的一个不动点。

压缩映射

设函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上有定义， $f ([a, b]) \subset [a, b]$ ，且存在常数 $r (0 < r < 1)$ ，使得对 $\forall x, y \in [a, b]$ ，都有 $| f (x) - f (y) | \leq r | x - y |$ 成立，则称 $f$ 为 $[a, b]$ 上的一个压缩映射，称 $r$ 为压缩常数。

此外，若 $| f^{'} (x) | \leq r < 1$ ，则同样有 $f$ 为 $[a, b]$ 上的一个压缩映射

定理内容

压缩映射定理（不动点定理）

设 $f$ 为 $[a, b]$ 上的一个压缩映射，则

$f (x)$ 在 $[a, b]$ 上存在唯一不动点 $a^{*}$ ；（不动点唯一）
对于任意初始值 $a_{1} \in [a, b]$ 和递推公式 $a_{n + 1} = f (a_{n}) (n = 1, 2, \dots)$ 产生的数列 ${a_{n}}$ 收敛于 $f (x)$ 的唯一不动点 $a^{*}$ ；（收敛）
事后估计 $| a_{n} - a^{*} | \leq \frac{r}{1 - r} | a_{n} - a_{n - 1} |$ 与先验估计 $| a_{n} - a^{*} | \leq \frac{r^{n - 1}}{1 - r} | a_{2} - a_{1} |$ 成立。（摆动变小）

证明过程

（1）首先证明 $f (x)$ 有不动点：

设 $g (x) = f (x) - x$ ，则 $g (a) \geq 0, g (b) \leq 0, g (a) g (b) \leq 0$ ，则 $g (x)$ 在 $[a, b]$ 至少有一个零点，即 $f (x)$ 至少有一个不动点

然后反证法说明这样的点只有一个：

假设存在另一个不动点 $a^{* *}$ ，则 $| a^{*} - a^{* *} | = | f (a^{*}) - f (a^{* *}) | \leq r | a^{*} - a^{* *} |$ ，又 $0 < r < 1$ , 则 $a^{*} - a^{* *} = 0$ ，即 $a^{*} = a^{* *}$ ，故 $f (x)$ 只有唯一一个不动点。

（2）首先由夹逼定理证明以下内容：

当 $x_{1} = a > 0, | x_{n + 1} | \leq q | x_{n} | (n = 1, 2, \dots)$ ，其中 $q$ 为常数且 $0 < q < 1$ ，则有 $lim_{n \to \infty} x_{n} = 0$ ；

而后对于递推公式 $a_{n + 1} = f (a_{n}) (n = 1, 2, \dots)$ 构造 $| a_{n + 1} - a^{*} | \leq q | a_{n} - a^{*} | (n = 1, 2, \dots)$ ，则 $lim_{n \to \infty} a_{n} = a^{*}$ 。

（3）放缩有

| a_{n} - a^{*} | = | f (a_{n - 1}) - f (a^{*}) | \leq r | a_{n - 1} - a^{*} | \leq r (| a_{n - 1} - a_{n} | + | a_{n} - a^{*} |)

移项即得事后估计 $| a_{n} - a^{*} | \leq \frac{r}{1 - r} | a_{n} - a_{n - 1} |$

又

| a_{n} - a_{n - 1} | = | f (a_{n - 1}) - f (a_{n - 2}) | \leq r | a_{n - 1} - a_{n - 2} | \leq \dots \leq r^{n - 2} | a_{2} - a_{1} |

故 $| a_{n} - a^{*} | \leq \frac{r}{1 - r} | a_{n} - a_{n - 1} | \leq \frac{r^{n - 1}}{1 - r} | a_{2} - a_{1} |$

食用

判断不动点然后利用证明（2）进行构造

练习册 A 13 页有相应练习

补充

不动点与数列通项

死去的高中数学又开始攻击我

对于数列递推 $x_{n + 1} = \frac{a x_{n} + b}{c x_{n} + d}$ ，其具有不动点方程

x = \frac{a x + b}{c x + d}

当该方程有根时，

（1）若 $x$ 的两个根相等记为 $x_{0}$ ，则 ${\frac{1}{x_{n} - x_{0}}}$ 为等差数列；

（2）若 $x$ 的两个根不等分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，则 ${\frac{x_{n} - x_{1}}{x_{n} - x_{2}}}$ 为等比数列。

当该方程无实根时，数列 ${x_{n}}$ 为周期数列。

从这个角度看，你也可以先求通项再求数列极限。

1.14* 补充：不动点法 ​

知识储备 ​

不动点 ​

压缩映射 ​

定理内容 ​

压缩映射定理（不动点定理） ​

证明过程 ​

食用 ​

补充 ​

不动点与数列通项 ​