1.6 极限运算法则

反正都没证，你们高中都已经在偷偷用了

本节中为书写方便，记号 “$lim$” 下没有标记自变量的变化过程。

与无穷小有关的几个结论

• 有限个无穷小之和是无穷小。
• 有界函数与无穷小的积是无穷小。
• 有限个无穷小的积是无穷小。

NOTE

无穷多个无穷小的乘积不一定是无穷小。甚至可以是无穷大。

基本运算

当 $limf(x),limg(x)$ 均存在时有

$$\begin{array}{rl}lim[f(x)\pm g(x)]& =limf(x)\pm limg(x)\\ lim[f(x)\cdot g(x)]& =limf(x)\cdot limg(x)\\ lim\frac{f(x)}{g(x)}& =\frac{limf(x)}{limg(x)}[g(x)\ne 0]\\ lim[c\cdot f(x)]& =climf(x)\\ lim[f(x){]}^n& =[limf(x){]}^n\end{array}$$

数列的极限也有类似的性质，此处不再重复说明。

---

例 1

求 $\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{2x-3}{x^2-5x+4}}$。

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-5x+4}{2x-3}=\frac{1^2-5\times 1+4}{2\times 1-3}=0\Rightarrow \underset{x\to 1}{lim}\frac{2x-3}{x^2-5x+4}=\mathrm{\infty }$$

例 2

求 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{3x^3+4x^2+2}{7x^3+5x^2-3}}$。

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^3+4x^2+2}{7x^3+5x^2-3}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{4}{x}+\frac{2}{x^3}}{7+\frac{5}{x}-\frac{3}{x^3}}=\frac{3}{7}$$

TIP

如果分式的极限是 $\mathrm{\infty }$，则先说明其倒数的极限为 $0$。

遇到分式中有多项式，上下同除以自变量的幂，只留下最高次项。

结论：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_0{x}^m+a_1{x}^{m-1}+\cdots +a_m}{b_0{x}^n+b_1{x}^{n-1}+\cdots +b_n}=\{\begin{array}{ll}0,& n>m,\\ \frac{a_0}{b_0},& n=m,\\ \mathrm{\infty },& n<m.\end{array}$$

例 3

求 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$。

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\underset{\mathrm{有}\mathrm{界}\mathrm{函}\mathrm{数}}{\underbrace{\sin x}}\cdot \underset{\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}}{\underbrace{\frac{1}{x}}})=0$$

复合函数的极限运算法则

$$\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=u_0\Rightarrow \underset{x\to x_0}{lim}f[g(x)]=\underset{u\to u_0}{lim}f(u)$$

其中 $x_0$ 或 $u_0$ 也可以被替换为 $\pm \mathrm{\infty }$。

有关极限计算的更多内容，将在 3.3* 极限计算专题 中讨论。