2.4 隐函数 参数方程 相关变化率

隐函数

隐函数与显函数

形如 $y=f(x)$ 的函数称为显函数。如 $y=\sin x$，$y=x^2+3x+1$，$y=\ln x+\sqrt{1-x^2}$ 等

形如 $F(x,y)=0$ 的函数称为隐函数。如 $x+y^3-1=0$。

把一个隐函数化为显函数的过程称为隐函数的显化。例如 $x+y^3-1=0⟹y=\sqrt[3]{1-x}$。有时，隐函数的显化是困难甚至不可能的。本节研究如何在不显化隐函数的情况下计算隐函数的导数。

TIP

• 并非每个二元方程 $F(x,y)=0$ 都能确定 $y$ 是 $x$ 的函数。如 $x^2+y^2+1=0$, 因为没有一对实数值能满足这个方程

• 每一个显函数都能化为隐函数，但不是每一个隐函数都能化为显函数，如 $y-x-\epsilon \sin y=0$

隐函数求导

通法：把 $y$ 看成关于 $x$ 的函数 $y=f(x)$，然后对方程两边分别求导，最后解出导数 $dy/dx$。

例题

例 1

求 $e^y+xy-e=0$ 确定的 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

设 $y=f(x)$，得 $e^{f(x)}+xf(x)=e$，恒等式两边对 $x$ 求导，有

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[e^{f(x)}+xf(x)]=e^{f(x)}{f}^{\prime }(x)+f(x)+x{f}^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e=0$$

从而有

$$\begin{array}{rl}(e^{f(x)}+x)f^{\prime }(x)& =-f(x)\\ f^{\prime }(x)& =-\frac{f(x)}{x+e^{f(x)}}\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}& =-\frac{y}{x+e^y}\end{array}$$

例 2

求 $y^5+2y-x-3x^7=0$ 确定的 ${\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{x=0}$。

等式两边对 $x$ 求导

$$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(y^5+2y-x-3x^7)=5y^4{y}^{\prime }+2y^{\prime }-1-21x^6=0\\ \Rightarrow & (5y^4+2)y^{\prime }=21x^6+1\Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y^{\prime }=\frac{21x^6+1}{5y^4+2}\\ & y{|}_{x=0}=0\Rightarrow {\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{x=0}=\frac{0+1}{0+2}=\frac{1}{2}\end{array}$$

例 3

求 $x-y+\frac{1}{2}\sin y=0$ 确定的二阶导数 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

等式两边对 $x$ 求导

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x-y+\frac{1}{2}\sin y)=1-y^{\prime }+\frac{1}{2}{y}^{\prime }\cos y=0$$

得

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}& =y^{\prime }=\frac{2}{2-\cos y}\\ \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}& =\frac{(2-\cos y)+2(-\sin y)\cdot \frac{2}{2-\cos y}}{(2-\cos y{)}^2}=-\frac{4\sin y}{(2-\cos y{)}^3}\end{array}$$

对数求导法

通法：等号两边同时取对数，然后再求导。

例 4

求 $y=x^{\sin x}$ 的导数。

等式两边取自然对数

$$\ln y=\sin x\ln x$$

等式两边对 $x$ 求导

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{y}{y}^{\prime }& =\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\\ y^{\prime }& =y\cos x\ln x+\frac{y\sin x}{x}\\ y^{\prime }& =x^{\sin x}\cos x\ln x+\frac{x^{\sin x}\sin x}{x}\end{array}$$

例 5

求 $y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$ 的导数。

$x>4$ 时，等式两边取自然对数，再求导

$$\begin{array}{rl}y& =\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}\\ \ln y& =\frac{1}{2}[\ln (x-1)+\ln (x-2)-\ln (x-3)-\ln (x-4)]\\ \frac{1}{y}{y}^{\prime }& =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}\right)\\ y^{\prime }& =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}\right)\end{array}$$

$x<1$ 时 $y=\sqrt{\frac{(1-x)(2-x)}{(3-x)(4-x)}}$；$2<x<3$ 时 $y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(3-x)(4-x)}}$，用同样的方法可得与上面相同的结果。

参数方程所确定的函数

对于参数方程

$$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$$

若函数 $x=\phi (t)$ 具有单调连续反函数 $t={\phi }^{-1}(x)$，且此反函数能与 $y=\psi (t)$ 构成复合函数，那么该参数方程所确定的函数可以改写为 $y=\psi [{\phi }^{-1}(x)]$。

故有

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}$$

如果是二阶导，则进一步计算。公式不建议背，要用现推不难。

$$\begin{array}{rl}\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)\\ & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}\right)\\ & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}\right)\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\\ & =\frac{\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}\cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}}{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2}\cdot \frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}\\ & =\frac{\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}\cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}}{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^3}\end{array}$$

例 6

求椭圆 $\{\begin{array}{l}x=a\cos t\\ y=b\sin t\end{array}$ 在 $t=\frac{\pi }{4}$ 处的切线方程。

设该点为 $M(x_0,y_0)$，有

$$\begin{gathered} x_0=a\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}a}{2} \\ {y}_0=b\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}b}{2} \end{gathered}$$

曲线在 $M_0$ 的切线斜率为

$${\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{t=\frac{\pi }{4}}={\frac{(b\sin t{)}^{\prime }}{(a\cos t{)}^{\prime }}|}_{t=\frac{\pi }{4}}={\frac{b\cos t}{-a\sin t}|}_{t=\frac{\pi }{4}}=-\frac{b}{a}$$

带人点斜式方程，得

$$\begin{gathered} y-\frac{\sqrt{2}b}{2}=-\frac{b}{a}\left(x-\frac{\sqrt{2}a}{2}\right) \\ \Rightarrow bx+ay-\sqrt{2}ab=0 \end{gathered}$$

例 7

计算由摆线的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t)\end{array}$ 所确定的函数的二阶导数。

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[a(1-\cos t)]}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[a(t-\sin t)]}=\frac{a\sin t}{a-a\cos t}=\frac{\sin t}{1-\cos t}=\frac{1}{\tan \frac{t}{2}}$$

故有

$$\begin{array}{rl}\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{\tan \frac{t}{2}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{\tan \frac{t}{2}}\right)\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{\tan \frac{t}{2}}\right)\cdot \frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}\\ & =-\frac{1}{{\tan }^2\frac{t}{2}}\cdot \frac{1}{{\cos }^2\frac{t}{2}}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{a(1-\cos t)}\\ & =-\frac{1}{2{\sin }^2\frac{t}{2}}\cdot \frac{1}{a(1-\cos t)}\\ & =-\frac{1}{a(1-\cos t{)}^2}(t\ne 2n\pi ,n\in \mathbf{Z})\end{array}$$

相关变化率

设 $x=f(t),y=g(t)$ 都是可导函数，则 $x,y$ 间存在某种关系的同时，$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ 间也存在某种关系。这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。

例 8

一气球从离开观察员 $500\mathrm{m}$ 处离地面铅直上升，当气球高度为 $500\mathrm{m}$ 时，其速率为 $140m/min$。求此时观察员视线的仰角增加的速率。

设气球上升 $t$ 分钟后，其高度为 $h$ 米，观察员视线的仰角为 $\alpha$，则

$$\tan \alpha =\frac{h}{500}$$

两边对 $t$ 求导，有

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\cdot \frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}t}& =\frac{1}{500}\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}\\ \frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}t}& =\frac{{\cos }^2\alpha }{500}\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}\end{array}$$

由已知条件，存在 $t_0$ 使得

$$\begin{array}{r}h{|}_{t=t_0}=500\Rightarrow \alpha {|}_{t=t_0}=\frac{\pi }{4}\\ {\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}|}_{t=t_0}=140\end{array}\}\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}t}=\frac{{\cos }^2\alpha }{500}\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=0.14$$

即此时观察员视线的仰角增加的速率是 $0.14rad/min$。