3.6 函数的单调性与曲线的凹凸性

函数单调性的判定

定理 设函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，

• 如果在 $(a,b)$ 内 $f^{\prime }(x)\ge 0$，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调增加；
• 如果在 $(a,b)$ 内 $f^{\prime }(x)\le 0$，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调减少。

如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（对于无穷区间，要求在其任一有限的子区间上满足定理的条件），那么结论也成立。

可通过拉格朗日中值定理证明。

曲线的凹凸性与拐点

凹凸性

定义： 设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，$\forall x_1,x_2\in I$，

• 如果恒有

  $$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$$

  那么称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；

• 如果恒有

  $$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$$

  那么称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。

如果函数 $f(x)$ 在 $I$ 内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，这就是下面的曲线凹凸性的判定定理。

定理 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内具有一阶和二阶导数，那么

• 若在 $(a,b)$ 内 $f^{\prime \prime }(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的图形是凹的；
• 若在 $(a,b)$ 内 $f^{\prime \prime }(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的图形是凸的；

这里证明第一个情形。第二个同理。

设 $x_1,x_2$ 为 $[a,b]$ 内任意两点，且 $x_1<x_2$。记 $x_0=\frac{1}{2}(x_1+x_2)$，并记 $x_2-x_0=x_1-x_0=h$，则 $x_1=x_0-h$，$x_2=x_0+h$，由拉格朗日中值公式，得

$$\begin{array}{c}f(x_0+h)-f(x_0)=f^{\prime }(x_0+{\theta }_{1}h)h\\ f(x_0)-f(x_0-h)=f^{\prime }(x_0-{\theta }_{2}h)h\end{array}$$

其中 ${\theta }_1,{\theta }_2\in (0,1)$。

两式相减，可得

$$f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0)=[f^{\prime }(x_0+{\theta }_{1}h)-f^{\prime }(x_0-{\theta }_{2}h)]h$$

对 $f^{\prime }(x)$ 在区间 $[x_0-{\theta }_{2}h,x_0+{\theta }_{1}h]$ 上再利用拉格朗日中值公式，得

$$[f^{\prime }(x_0+{\theta }_{1}h)-f^{\prime }(x_0-{\theta }_{2}h)]h=f^{\prime \prime }(\xi )({\theta }_1+{\theta }_2)h^2$$

其中 $\xi \in (x_0-{\theta }_{2}h,x_0+{\theta }_{1}h)$。按情形 1 的假设，$f^{\prime \prime }(\xi )>0$，因此有

$$\begin{array}{rl}& f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0)\\ =& [f^{\prime }(x_0+{\theta }_{1}h)-f^{\prime }(x_0-{\theta }_{2}h)]h\\ =& f^{\prime \prime }(\xi )({\theta }_1+{\theta }_2)h^2\\ >& 0\end{array}$$

也就是说

$$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$$

所以 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的图形是凹的。证毕。

如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立。

拐点

定义 设 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，$x_0$ 是 $I$ 内的点。如果曲线 $y=f(x)$ 在经过点 $(x_0,f(x_0))$ 时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点 (x_0,f (x_0)) 为这曲线的拐点。

求拐点的基本流程：

1. 求 $f^{\prime \prime }(x)$；
2. 令 $f^{\prime \prime }(x)=0$，解处这方程在区间 $I$ 内的实根，并求出在区间 $I$ 内 $f^{\prime \prime }(x)$ 不存在的点；
3. 对于 2. 中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点 $x_{)}$，检查 $f"(x)$ 在 $x_0$ 左、右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点 $(x_0,f(x_0))$ 是拐点，当两侧的符号相同时，点 $(x_0,f(x_0))$ 不是拐点。

例

设曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$，$x\in (-\infty ,+\infty )$，下列命题中，不一定正确的是

1. 若函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 单调增加，则 $f^{\prime }(0)>0$
2. 若 $f^{\prime }(0)>0$，则 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 单调增加
3. 若 $(0,f(0))$ 是曲线 $C$ 的拐点，则 $f^{\prime \prime }(0)=0$
4. 若 $f^{\prime \prime }(0)=0$，则 $(0,f(0))$ 是曲线 $C$ 的拐点

答案：1234

1. 首先，$f(x)$ 不一定连续，$f^{\prime }(0)$ 不一定存在。其次，在孤立的点上可以取等号。
2. 单点导数不能退出区间单调性。
3. $f^{\prime \prime }(0)$ 不一定存在，例如 $f^{\prime }(x)$ 在 $0$ 处可能有一个跳跃间断点。
4. $f^{\prime \prime }(0)=0$ 不一定意味着 $f^{\prime }(x)$ 在 $0$ 的两侧异号。反例如 $y=x^4$。