10.2 第一类曲线积分

第一类曲线积分的概念

例 1

求曲线积分 $\int_{L} (x^{2} + y^{2}) d s$ ，其中 $L$ 表示半圆周 $y = - 1 - x^{2}$ 。

依题意， $L$ 上的点满足 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，则

I = \int_{L} 1 d s

则该积分式等于半圆的弧长，即 $π$ 。

对曲线积分的理解

一重积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 可以理解为在从 $(a, 0)$ 到 $(b, 0)$ 的一条线段上对函数值进行积分，曲线积分将线段变为曲线，函数值由 $x, y$ 两个变量确定。

d s = 1 + (y^{'})^{2} d x = x^{'} (t)^{2} + y^{'} (t)^{2} d t = r^{2} + (r^{'})^{2} d θ (一般函数) (参数方程) (极坐标)

例 2

求曲线积分 $\int_{L} y^{2} d s$ ，其中 $L$ 表示 ${x = t - sin t y = 1 - cos t (0 \leq t \leq 2 π)$ 。

{x^{'} (t) = 1 - cos t y^{'} (t) = sin t \Rightarrow \frac{d s}{d t} = (1 - cos t)^{2} + sin^{2} t = 2 - 2 cos t = 2 - 2 (1 - 2 sin^{2} \frac{t}{2}) = 4 sin^{2} \frac{t}{2} = 2 sin \frac{t}{2} (t \in [0, 2 π], t \in [0, π])

则有

I = \int_{0}^{2 π} (1 - cos t)^{2} \cdot 2 sin \frac{t}{2} d t = \int_{0}^{2 π} [1 - (1 - 2 sin^{2} \frac{t}{2})]^{2} \cdot 2 sin \frac{t}{2} d t = \int_{0}^{2 π} 8 sin^{5} \frac{t}{2} d t = - 16 \int_{0}^{2 π} (sin^{2} \frac{t}{2})^{2} d (cos \frac{t}{2}) = - 16 \int_{0}^{2 π} (1 - cos^{2} \frac{t}{2})^{2} d (cos \frac{t}{2}) = - 16 \int_{0}^{2 π} (1 - cos^{2} \frac{t}{2})^{2} d (cos \frac{t}{2})

设 $u = cos \frac{t}{2}$ ，则 $t$ 从 $0$ 变化到 $2 π$ 时 $u$ 从 $1$ 变化到 $- 1$ ，则

I = - 16 \int_{1}^{- 1} (1 - u^{2})^{2} d u = 16 \int_{- 1}^{1} (u^{4} - 2 u^{2} + 1) d u = 16 [\frac{u ^{5}}{5} - \frac{2}{3} u^{3} + u]_{- 1}^{1} = \frac{256}{15}

例 3

求曲线积分 $\oint_{L} x d x$ ，其中 $L$ 表示 $y = x^{2}$ 与 $y = x$ 围成区域的边界。

分别计算上方的直线部分和下方的抛物线部分。

记 $L_{1} : y = x (0 \leq x \leq 1)$ ， $L_{2} : y = x^{2} (0 \leq x \leq 1)$ 。

对于 L_{1} 对于 L_{2} d s d s = 1 + 1 d x = 2 d x = 1 + (2 x)^{2} d x = 4 x^{2} + 1 d x

故有

\int_{L_{1}} x d s \int_{L_{2}} x d s = \int_{0}^{1} 2 x d x = \frac{1}{2} x^{2}_{0}^{1} = \frac{2}{2} = \int_{0}^{1} x 4 x^{2} + 1 d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 4 x^{2} + 1 d x^{2} = \frac{1}{8} \int_{0}^{1} 4 x^{2} + 1 d (4 x^{2} + 1) = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} (4 x^{2} + 1)^{3/2}_{0}^{1} = \frac{5 5 - 1}{12}

因此

\oint_{L} x d s = \frac{2}{2} + \frac{5 5 - 1}{12}

若 $L$ 关于 $y$ 轴对称，且 $f (x, y)$ 关于 $x$ 有奇偶性
- 若 $f (x, y)$ 关于 $x$ 为奇函数，则 $\int_{L} f (x, y) d s = 0$
- 若 $f (x, y)$ 关于 $x$ 为偶函数，则 $\int_{L} f (x, y) d s = \int_{L (x \geq 0)} f (x, y) d s$

例 4

设 $L$ 表示椭圆 $\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ ，其周长为 $a$ ，求 $\oint_{L} (2 x y + 3 x^{2} + 4 y^{2}) d s$ 。

TIP

给周长是因为椭圆的周长没有解析解。

椭圆关于 $x$ 轴对称，关于 $x$ 为奇的项 $2 x y$ 结果为 $0$ ，可略去。

将椭圆方程两边乘 $12$ ，可得 $3 x^{2} + 4 y^{2} = 12$ ，因此有

I = \oint_{L} 12 d s = 12 a

例 5

求曲线积分 $\oint_{L} x^{2} d s$ ，其中 $L$ 表示单位圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 。

$L$ 关于 $y = x$ 对称，因此有

I = \oint_{L} x^{2} d s = \oint_{L} y^{2} d s 2 I = \oint_{L} (x^{2} + y^{2}) d s = \oint_{L} d s = 2 π

因此有 $I = π$ 。