9.5 多元函数微分的几何应用

空间曲面的切平面与法线

曲面 $F(x,y,z)=0$ 在其上一点 $M(x_0,y_0,z_0)$ 处的法向量为 ${\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right)|}_{(x_0,y_0,z_0)}$

有法向量，即可得到切平面与法线方程。

空间曲线的切线与法平面

参数方程表达

曲线 $\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}$ 在 $P(x_0,y_0,z_0)$ 处的切向量为 $(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t))$

曲面交线表达

曲线 $\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(z,y,z)=0\end{array}$ 在 $P(x_0,y_0,z_0)$ 处的切向量为

$${\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right)\times \left(\frac{\partial G}{\partial x},\frac{\partial G}{\partial y},\frac{\partial G}{\partial z}\right)|}_{(x_0,y_0,z_0)}$$

即：

$$\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ \frac{\partial F}{\partial x}& \frac{\partial F}{\partial y}& \frac{\partial F}{\partial z}\\ \frac{\partial G}{\partial x}& \frac{\partial G}{\partial y}& \frac{\partial G}{\partial z}\end{array}\right|$$

有切向量，即可得到切线方程与法平面方程。