4.5 有理函数的积分

两个多项式的商 $\frac{P (x)}{Q (x)}$ 称为有理函数，又称有理分式。一般地，我们讨论 $P (x)$ 与 $Q (x)$ 没有公因式的情况。

假分式的拆分

当分子 $P (x)$ 的次数小于分母 $Q (x)$ 的次数时，该式称为真分式，否则称为假分式。假分式一定可以化为多项式与真分式的和。可以使用配凑法或多项式除法（长除法）。

例：使用配凑法化简

\begin{aligned} \frac{2 x^{4} + x^{2} + 3}{x^{2} + 1} \\ = \frac{2 x^{2} (x^{2} + 1) - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} \\ = \frac{2 x^{2} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) + 4}{x^{2} + 1} \\ = \frac{(2 x^{2} - 1) (x^{2} + 1) + 4}{x^{2} + 1} \\ = 2 x^{2} - 1 + \frac{4}{x^{2} + 1} \end{aligned}

例：使用长除法化简

对于假分式

\frac{2 x^{4} + x^{2} + 3}{x^{2} + 1}

将分子除以分母

因此有

\begin{matrix} 2 x^{4} + x^{2} + 3 = (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 1) + 4 \\ \Rightarrow \frac{2 x^{4} + x^{2} + 3}{x^{2} + 1} = 2 x^{2} - 1 + \frac{4}{x^{2} + 1} \end{matrix}

对于真分式 $\frac{P (x)}{Q (x)}$ ，如果分母 $Q (x)$ 可以因式分解为 $Q_{1} (x) Q_{2} (x)$ ，那么该分式可以拆成两个真分式之和

\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{P_{1} (x)}{Q_{1} (x)} + \frac{P_{2} (x)}{Q_{2} (x)}

上述步骤称为把真分式化为部分分式之和。

下面举几个真分式的积分的例子。

例 1

\int \frac{x + 1}{x^{2} - 5 x + 6} d x

解：被积函数的分母分解成 $(x - 3) (x - 2)$ ，故可设

\frac{x + 1}{x^{2} - 5 x + 6} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 2}

去分母之后得到

\begin{aligned} x + 1 & = A (x - 2) + B (x - 3) \\ x + 1 & = (A + B) x - 2 A - 3 B \end{aligned}

对比系数可得

{\begin{cases} A + B = 1 \\ 2 A + 3 B = - 1 \end{cases}

解得 $A = 4$ ， $B = - 3$ 。因此

\begin{aligned} \int \frac{x + 1}{x^{2} - 5 x + 6} d x \\ = \int (\frac{4}{x - 3} - \frac{3}{x - 2}) d x \\ = 4 \ln | x - 3 | - 3 \ln | x - 2 | + C \end{aligned}

例 2

\int \frac{x + 2}{(2 x + 1) (x^{2} + x + 1)} d x

解：设

\frac{x + 2}{(2 x + 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{A}{2 x + 1} + \frac{B x + D}{x^{2} + x + 1}

则有

\begin{aligned} x + 2 & = A (x^{2} + x + 1) + (B x + D) (2 x + 1) \\ x + 2 & = (A + 2 B) x^{2} + (A + 2 B + 2 D) x + A + D \end{aligned}

对比系数可得

{\begin{cases} A + 2 B = 0 \\ A + B + 2 D = 1 \\ A + D = 2 \end{cases}

得 $A = 2$ ， $B = - 1$ ， $D = 0$ 。于是

\begin{aligned} I & = \int (\frac{2}{2 x + 1} - \frac{x}{x^{2} + x + 1}) d x \\ = \ln | 2 x + 1 | - \frac{1}{2} \int \frac{(2 x + 1) - 1}{x^{2} + x + 1} d x \\ = \ln | 2 x + 1 | - \frac{1}{2} \int \frac{d (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} + \frac{1}{2} \int \frac{d x}{(x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}} \\ = \ln | 2 x + 1 | - \frac{1}{2} \ln (x^{2} + x + 1) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2 x + 1}{\sqrt{3}} + C \end{aligned}

例 3

求不定积分

\int \frac{\arctan x}{x^{2} (1 + x^{2})}

解：

\begin{aligned} I & = \int \frac{\arctan x}{x^{2}} d x - \int \frac{\arctan x}{1 + x^{2}} d x \\ = - \int \arctan x d \frac{1}{x} - \int \arctan x d (\arctan x) \\ = - [\frac{\arctan x}{x} - \int \frac{d x}{x (1 + x^{2})}] - \frac{1}{2} (\arctan x)^{2} \\ = - \frac{\arctan x}{x} + \int (\frac{1}{x} - \frac{x}{1 + x^{2}}) d x - \frac{1}{2} (\arctan x)^{2} \\ = - \frac{\arctan x}{x} + \ln | x | - \ln \sqrt{x^{2} + 1} - \frac{1}{2} (\arctan x)^{2} + C \end{aligned}