4.5 有理函数的积分

两个多项式的商 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 称为有理函数，又称有理分式。一般地，我们讨论 $P(x)$ 与 $Q(x)$ 没有公因式的情况。

假分式的拆分

当分子 $P(x)$ 的次数小于分母 $Q(x)$ 的次数时，该式称为真分式，否则称为假分式。假分式一定可以化为多项式与真分式的和。可以使用配凑法或多项式除法（长除法）。

例：使用配凑法化简

$$\begin{array}{rl}& \frac{2x^4+x^2+3}{x^2+1}\\ & =\frac{2x^2(x^2+1)-x^2+3}{x^2+1}\\ & =\frac{2x^2(x^2+1)-(x^2+1)+4}{x^2+1}\\ & =\frac{(2x^2-1)(x^2+1)+4}{x^2+1}\\ & =2x^2-1+\frac{4}{x^2+1}\end{array}$$

例：使用长除法化简

对于假分式

$$\frac{2x^4+x^2+3}{x^2+1}$$

将分子除以分母

因此有

$$\begin{array}{c}2x^4+x^2+3=(2x^2-1)(x^2+1)+4\\ \Rightarrow \frac{2x^4+x^2+3}{x^2+1}=2x^2-1+\frac{4}{x^2+1}\end{array}$$

真分式的拆分

对于真分式 $\frac{P(x)}{Q(x)}$，如果分母 $Q(x)$ 可以因式分解为 $Q_1(x)Q_2(x)$，那么该分式可以拆成两个真分式之和

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}+\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}$$

上述步骤称为把真分式化为部分分式之和。

下面举几个真分式的积分的例子。

例 1

$$\int \frac{x+1}{x^2-5x+6}\mathrm{d}x$$

解：被积函数的分母分解成 $(x-3)(x-2)$，故可设

$$\frac{x+1}{x^2-5x+6}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-2}$$

去分母之后得到

$$\begin{array}{rl}x+1& =A(x-2)+B(x-3)\\ x+1& =(A+B)x-2A-3B\end{array}$$

对比系数可得

$$\{\begin{array}{l}A+B=1\\ 2A+3B=-1\end{array}$$

解得 $A=4$，$B=-3$。因此

$$\begin{array}{rl}& \int \frac{x+1}{x^2-5x+6}\mathrm{d}x\\ & =\int \left(\frac{4}{x-3}-\frac{3}{x-2}\right)\mathrm{d}x\\ & =4\ln |x-3|-3\ln |x-2|+C\end{array}$$

例 2

$$\int \frac{x+2}{(2x+1)(x^2+x+1)}\mathrm{d}x$$

解：设

$$\frac{x+2}{(2x+1)(x^2+x+1)}=\frac{A}{2x+1}+\frac{Bx+D}{x^2+x+1}$$

则有

$$\begin{array}{rl}x+2& =A(x^2+x+1)+(Bx+D)(2x+1)\\ x+2& =(A+2B)x^2+(A+2B+2D)x+A+D\end{array}$$

对比系数可得

$$\{\begin{array}{l}A+2B=0\\ A+B+2D=1\\ A+D=2\end{array}$$

得 $A=2$，$B=-1$，$D=0$。于是

$$\begin{array}{rl}I& =\int \left(\frac{2}{2x+1}-\frac{x}{x^2+x+1}\right)\mathrm{d}x\\ & =\ln |2x+1|-\frac{1}{2}\int \frac{(2x+1)-1}{x^2+x+1}\mathrm{d}x\\ & =\ln |2x+1|-\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}(x^2+x+1)}{x^2+x+1}+\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}x}{(x+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}}\\ & =\ln |2x+1|-\frac{1}{2}\ln (x^2+x+1)+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C\end{array}$$

例 3

求不定积分

$$\int \frac{\arctan x}{x^2(1+x^2)}$$

解：

$$\begin{array}{rl}I& =\int \frac{\arctan x}{x^2}\mathrm{d}x-\int \frac{\arctan x}{1+x^2}\mathrm{d}x\\ & =-\int \arctan x\mathrm{d}\frac{1}{x}-\int \arctan x\mathrm{d}(\arctan x)\\ & =-\left[\frac{\arctan x}{x}-\int \frac{\mathrm{d}x}{x(1+x^2)}\right]-\frac{1}{2}(\arctan x{)}^2\\ & =-\frac{\arctan x}{x}+\int \left(\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2}\right)\mathrm{d}x-\frac{1}{2}(\arctan x{)}^2\\ & =-\frac{\arctan x}{x}+\ln |x|-\ln \sqrt{x^2+1}-\frac{1}{2}(\arctan x{)}^2+C\end{array}$$