1.4 函数的极限

函数极限的定义

自变量趋近于有限值时的函数极限

极限

定义自变量趋近于有限值时函数极限的概念：

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x\in \mathring{U}(x_0,\delta ),|f(x)-A|<\epsilon$$

其中，常数 $A$ 称作函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 的极限，记作 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(\mathrm{当}x\to x_0)$。

WARNING

$f(x)$ 当 $x\to x_0$ 的极限与 $f(x_0)$ 是否有定义或 $f(x_0)$ 的值无关。

例

证明 $\underset{x\to x_0}{lim}\sin x=\sin x_0$：

$$\begin{array}{rl}|\sin x-\sin x_0|& =2|\cos \frac{x+x_0}{2}\sin \frac{x-x_0}{2}|\\ & \le 2|\sin \frac{x-x_0}{2}|\\ & <|x-x_0|\end{array}$$

取 $\delta =\epsilon$，则有 $\mathrm{\forall }x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$，均有 $|\sin x-\sin x_0|<\epsilon$。证毕。

TIP

和数列极限的证明同理，关键是找到与 $\epsilon$ 对应的 $\delta$。

单侧极限

将上面的 $\mathrm{\forall }x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$ 改为 $\mathrm{\forall }x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 即可得到函数左极限的定义，记作 $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(\mathrm{当}x\to x_0^{-})$。

将上面的 $\mathrm{\forall }x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$ 改为 $\mathrm{\forall }x\in (x_0,x_0+\delta )$ 即可得到函数右极限的定义，记作 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(\mathrm{当}x\to x_0^{+})$。

左极限和右极限统称单侧极限。且有：

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\iff \{\begin{array}{l}\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=A\\ \underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=A\end{array}$$

如果某一位置的左极限和右极限不相等，则此处必不存在极限。

自变量趋近于无穷大时的函数极限

定义自变量趋近于无穷大时的函数极限的概念：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }X>0,|x|>X\mathrm{时},|f(x)-A|<\epsilon$$

WARNING

趋近于无穷同时包含了趋近于正无穷和趋近于负无穷。

有意思的是，在数列的极限的定义中，教材中写的直接就是 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$，没有加 “$+$”，可能是因为 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$，所以就省略了？

类似地，我们定义：

$$\begin{array}{c}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }X>0,x>X\mathrm{时},|f(x)-A|<\epsilon \\ \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }X<0,x<X\mathrm{时},|f(x)-A|<\epsilon \end{array}$$

我们称 $y=A$ 是函数 $y=f(x)$ 的图形的水平渐近线。

函数极限的性质

函数极限的唯一性

如果 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在，那么这极限唯一。

函数极限的局部有界性

如果 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$，那么存在常数 $M>0$ 和 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)|\le M$。

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\Rightarrow \mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\exists }M>0,\mathrm{\forall }x\in \mathring{U}(x_0,\delta ),|f(x)|\le M$$

拓展：

$$\begin{array}{c}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A\Rightarrow \mathrm{\exists }X>0,\mathrm{\exists }M>0,\mathrm{\forall }x>X,|f(x)|\le M\\ \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A\Rightarrow \mathrm{\exists }X>0,\mathrm{\exists }M>0,\mathrm{\forall }x<X,|f(x)|\le M\end{array}$$

函数极限的局部保号性

如果 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$，且 $A>0$（或 $A<0$），那么存在常数 $\delta >0$，当 $x\in \mathring{U}(x,\delta )$ 时，都有 $f(x)>0$（或 $f(x)<0$）。

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\ne 0\Rightarrow \mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x\in \mathring{U}(x_0,\delta ),\mathrm{sgn}(A)f(x)>0$$

推论 如果 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A(A\ne 0)$，那么就存在着 $x_0$ 的某一去心邻域 $\mathring{U}(x_0)$，当 $x\in \mathring{U}(x_0)$ 时，就有 $|f(x)|>\frac{|A|}{2}$。

推论 如果 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$，并且在 $x_0$ 的某去心邻域内 $f(x)\ge 0$ 或 $f(x)\le 0$，那么 $A\ge 0$（或 $A\le 0$）。

拓展：

$$\begin{array}{r}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A\Rightarrow \mathrm{\exists }X>0,\mathrm{\forall }x>X,\mathrm{sgn}(A)f(x)>0\\ \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A\Rightarrow \mathrm{\exists }X<0,\mathrm{\forall }x<X,\mathrm{sgn}(A)f(x)>0\end{array}$$

函数极限与数列极限的关系（海涅定理）

如果极限 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在，$\{x_n\}$ 为函数 $f(x)$ 的定义域内任一收敛于 $x_0$ 的数列，且满足 $x_n\ne x_0(n\in {\mathbf{N}}_{+})$，那么相应的函数值数列 $\{f(x_n)\}$ 必收敛，且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$。

WARNING

注意 $x_n\ne x_0$ 这一条件不可省略！因为 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\nRightarrow x_0\in D_f$ 或 $f(x_0)=A$。

NOTE

该结论可以逆用，但高等数学证不了。

证明：

设 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$。即证 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=A$。

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x\in \mathring{U}(x_0,\delta ),|f(x)-A|<\epsilon$$

在数列极限的定义中取 $\epsilon =\delta$ 有

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x_0\Rightarrow \mathrm{\exists }N\in {\mathbf{N}}_{+},\mathrm{\forall }x>N,|x_n-x_0|<\delta$$

故当 $n>N$ 时，$0<|x_n-x_0|<\delta$，从而 $|f(x_n)-A|<\epsilon$。命题得证。