3.1 微分中值定理

NOTE

本节所有证明过程要求掌握。

费马引理

对于函数 $f(x)$，$U(x_0)\subset D_f$，且在 $x_0$ 处可导，若对于任意的 $x\in U(x_0)$，都有 $f(x)\le f(x_0)$（或 $f(x)\ge f(x_0)$），那么有 $f^{\prime }(x)=0$。

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证 不妨设 $\forall x\in U(x_0),f(x)\le f(x_0)$，则根据极限的保号性有

$$\begin{array}{c}{f}_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0\\ f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0\end{array}$$

因此有

$$0\le f_{+}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)=f_{-}^{\prime }(x_0)\le 0$$

证毕。

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通常称导数为零的点为函数的驻点（或稳定点、临界点）。

罗尔定理

如果函数 $f(x)$ 满足

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导
3. 在区间端点处的函数值相等，即 $f(a)=f(b)$

那么 $\exists \xi \in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$。

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证 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，故 $\exists x_1,x_2\in [a,b]$，使得

$$\begin{array}{rl}m& =f(x_1)=\underset{x\in [a,b]}{\min }\{f(x)\}\\ M& =f(x_2)=\underset{x\in [a,b]}{\max }\{f(x)\}\end{array}$$

① $M=m$ 时，$f(x)=M=m$，有 $f^{\prime }(x)=0$，故 $f^{\prime }(\xi )=0$。

② $M>m$ 时，则 $x_1,x_2$ 之中必有一个不在区间的端点上（因为 $f(a)=f(b)$）。

不妨假设 $x_1\in (a,b)$，由费马引理，$f^{\prime }(x_1)=0$。

取 $\xi =x_1$，则 $f(\xi )=0$。

证毕。

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三个条件的解读：

1. 若闭区间上不连续，则取不出 $x_1,x_2$。可能出现趋于无穷的地方；
2. 若开区间内不可导，则费马引理无法应用；
3. 若端点函数值不相等，则无法保证 $M>m$ 时 $x_1,x_2$ 必有一个不在端点上。

罗尔定理的几何意义是：如果连续曲线 $y=f(x)$ 的弦 $AB$ 平行于 $x$ 轴，且弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$ 除端点外处处具有不垂直于 $x$ 轴的切线，那么这弧上至少有一点 $C$，使曲线在点 $C$ 处的切线平行于 $x$ 轴。

例 1

设 $f(x)$ 二阶可导，满足 $f(-1)=\frac{1}{3}$，$f(0)=\frac{1}{6}$，$f(2)=\frac{17}{6}$，证明：存在 $\xi \in (-1,2)$，使得 $f^{\prime \prime }(\xi )=1$。

TIP

先构造一个二次函数 $p(x)=a{x}^2+bx+c$，使其过 $(-1,\frac{1}{3})$，$(0,\frac{1}{6})$，$(2,\frac{17}{6})$ 三个点。

解得 $p(x)=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}$。这时候我们把原函数减去 $p(x)$，就创造了罗尔定理应用的条件。

解：

设

$$\begin{array}{c}g(x)=f(x)-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{6}\\ \Rightarrow g(-1)=g(0)=g(2)=0\end{array}$$

对 $g(x)$ 在 $[-1,0]$ 与 $[0,2]$ 上运用罗尔定理得

$$\begin{array}{c}\exists {\xi }_1\in (-1,0),g^{\prime }({\xi }_1)=0\\ \exists {\xi }_2\in (0,2),g^{\prime }({\xi }_2)=0\end{array}$$

对 $g^{\prime }(x)$ 在 $[{\xi }_1,{\xi }_2]$ 上再运用罗尔定理，有

$$\exists \xi \in ({\xi }_1,{\xi }_2)\subset (-1,2),g^{\prime \prime }(\xi )=0$$

则有

$$\begin{array}{c}{g}^{\prime \prime }(\xi )=f^{\prime \prime }(\xi )-1=0\\ \Rightarrow f^{\prime \prime }(\xi )=1\end{array}$$

证毕。

拉格朗日中值定理

如果函数 $f(x)$ 满足

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导

则 $\exists \xi \in (a,b)$，使得 $f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$。

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证 取 $k$ 使得 $f(b)-f(a)=k(b-a)$

记 $g(x)=f(x)-f(a)-k(x-a),x\in [a,b]$，

则有 $g(a)=g(b)=0$。根据罗尔定理，$\exists \xi \in (a,b)$ 使得 $g^{\prime }(\xi )=0$。

那么有 $g^{\prime }(\xi )=f^{\prime }(x)-k{|}_{x=\xi }=f^{\prime }(\xi )-k=0\Rightarrow f^{\prime }(\xi )=k$。证毕。

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拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。

在拉格朗日中值定理的基础上加入 $f(a)=f(b)$，则 $f(a)-f(b)=0$，则 $f^{\prime }(\xi )=0$，拉格朗日中值定理特殊化为罗尔定理。

拉格朗日中值定理的几何意义是：如果连续曲线 $y=f(x)$ 的弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$ 除端点外处处具有不垂直于 $x$ 轴的切线，那么这弧上至少有一点 $C$，使曲线在点 $C$ 处的切线平行于弦 $AB$。

例 2

证明区间内导数为 $0$ 的函数为常函数。

证 取 $x_0\in I$，$\forall x\in I$ 有

$$f(x)-f(x_0)=f^{\prime }(\xi )(x-x_0)=0\Rightarrow f(x)=f(x_0)$$

证毕。

所以我们有

$$\forall x\in I,f(x)=C⟺\forall x\in I,f^{\prime }(x)=0$$

此结论可以直接使用。

例 3

$a,b\in \mathbf{R}$，求证 $\left|\arctan a-\arctan b\right|\le |b-a|$。

证 记 $f(x)=\arctan x$。由拉格朗日中值定理，有

$$\exists \xi \in (a,b),f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$$

故有

$$\left|\arctan b-\arctan a\right|=\left|\frac{1}{1+{\xi }^2}(b-a)\right|\le |b-a|$$

证毕。

例 4

证明当 $x>0$ 时，$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$。

设 $f(t)=\ln (1+t)$，由拉格朗日中值定理，有

$$\exists \xi \in (0,x),f(x)-f(0)=f^{\prime }(\xi )(x-0)$$

由于 $f(0)=0,f^{\prime }(t)=\frac{1}{1+t}$，因此上式即为

$$\ln (1+x)=\frac{x}{1+\xi }$$

又有 $0<\xi <x$，故

$$\frac{x}{1+x}<\frac{x}{1+\xi }<x$$

即

$$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x(x>0)$$

柯西中值定理

如果函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导
3. $\forall x\in (a,b),g^{\prime }(x)\ne 0$

则 $\exists \xi \in (a,b)$，使得

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$$

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欲证 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$，

即证 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 在 $(a,b)$ 内有根，

即证 $[f(b)-f(a)]g^{\prime }(x)-[g(b)-g(a)]f^{\prime }(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内有根，

即证 $\{[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x){\}}^{\prime }=0$ 在 $(a,b)$ 内有根。

考虑使用罗尔定理。设 $F(x)=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x)$。

• 在闭区间 $[a,b]$ 上连续

• 在开区间 $(a,b)$ 内可导

• 在区间端点处的函数值相等，即 $F(a)=F(b)$

  $$\{\begin{array}{l}F(a)=f(b)g(a)-f(a)g(a)-f(a)g(b)+f(a)g(a)=f(b)g(a)-f(a)g(b)\\ F(b)=f(b)g(b)-f(a)g(b)-f(b)g(b)+f(a)g(b)=f(b)g(a)-f(a)g(b)\end{array}$$

因此 $\exists \xi \in (a,b),F^{\prime }(x)=0$。现在倒着写回去即可。

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柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。取 $g(x)=x$，柯西中值定理特殊化为拉格朗日中值定理。再推广下去，就是泰勒了。

通往泰勒的一道例题

例 5

设 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内具有 $n$ 阶导数，且 $f(0)=f^{\prime }(0)=\cdots =f^{(n)}(0)$，试用柯西中值定理证明：$\frac{f(x)}{x^n}=\frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}$，$\theta \in (0,1)$。

$$\begin{array}{c}\frac{f(x)}{x^n}=\frac{f(x)-f(0)}{x^n-0^n}=\frac{1}{n}\frac{f^{\prime }({\xi }_1)}{{\xi }_1^{n-1}}{\xi }_1在0,x之间\\ \frac{1}{n}\frac{f^{\prime }({\xi }_1)}{{\xi }_1^{n-1}}=\frac{1}{n}\frac{f^{\prime }({\xi }_1)-f(0)}{{\xi }_1^{n-1}-0^{n-1}}=\frac{1}{n(n-1)}\frac{f^{\prime \prime }({\xi }_2)}{{\xi }_2^{n-2}}{\xi }_2在0,{\xi }_1之间\\ ⋮\\ \frac{1}{n!}\frac{f^{(n-1)}({\xi }_{n-1})}{{\xi }_{n-1}}=\frac{1}{n!}\frac{f^{(n-1)}({\xi }_{n-1})-f(0)}{{\xi }_{n-1}-0}=\frac{1}{n!}{f}^{(n)}({\xi }_n){\xi }_n在0,{\xi }_{n-1}之间\end{array}$$

因此，$x\to 0$ 时，有

$$\frac{f(x)}{x^n}=\frac{f^{(n)}({\xi }_n)}{n!}=\frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}$$

证毕。