7 附有参数的条件平差

引入

一些情况下平差的条件方程难以直接列立。

考虑上图网型，已知 A、B 两点坐标以及 AC 边长，观测了角 $L_1,\cdots ,L_9$。故有

$$n=9,t=5,r=4$$

可以列立 3 个三角形对应的图形条件，但还有一个极条件难以列立。考虑到 A、B 两点坐标已知，不妨连接 A、B 两点并设参数 $x=\angle ABD$：

随着新增参数 $x$，为了求解这个参数需要新增一个条件方程，也就是说此时需要列立两个边长条件。

AB、AC 边长已知，通过正弦定理可以得到

$$\frac{S_{AB}}{S_{AC}}=\frac{S_{AB}}{S_{AD}}\frac{S_{AD}}{S_{AC}}=\frac{\sin ({\hat{L}}_6+{\hat{L}}_8)}{\sin \hat{x}}\frac{\sin {\hat{L}}_2}{\sin {\hat{L}}_3}$$

以 A 点为极可列立极条件

$$1=\frac{S_{AB}}{{\hat{S}}_{AE}}\frac{{\hat{S}}_{AD}}{{\hat{S}}_{AB}}\frac{{\hat{S}}_{AE}}{{\hat{S}}_{AD}}=\frac{\sin ({\hat{L}}_4+{\hat{L}}_7)\sin \hat{x}\sin {\hat{L}}_6}{\sin ({\hat{L}}_9-\hat{x})\sin ({\hat{L}}_6+{\hat{L}}_8)\sin {\hat{L}}_4}$$

数学模型

记参数个数为 $u$，则条件方程个数为 $c=r+u=n-t+u$。

在条件平差 $\mathbf{A}\hat{\mathbf{L}}+{\mathbf{A}}_0=0$ 的基础上加入参数向量得到

$$\mathbf{A}\hat{\mathbf{L}}+\mathbf{B}\hat{\mathbf{X}}+{\mathbf{A}}_0=0$$

令

$$\hat{\mathbf{L}}=\mathbf{L}+\mathbf{V},\hat{\mathbf{X}}={\mathbf{X}}_0+\hat{\mathbf{x}},\mathbf{W}=-\left(\mathbf{A}\mathbf{L}+\mathbf{B}{\mathbf{X}}_0+{\mathbf{A}}_0\right)$$

得到

$$\mathbf{A}\mathbf{V}+\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{W}=0$$

该式称为 附有参数的条件平差的条件方程。

求解

欲使 ${\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{V}=\min$，由拉格朗日法构造

$$\mathbf{\Phi }={\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{V}-2{\mathbf{k}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{A}\mathbf{V}+\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{W})$$

$\mathbf{\Phi }$ 对 $\mathbf{V}$ 和 $\hat{\mathbf{x}}$ 分别求一阶导数并令为零

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}\mathbf{\Phi }}{\mathrm{d}\mathbf{V}}& =2{\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}-2{\mathbf{k}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}=0\\ \frac{\mathrm{d}\mathbf{\Phi }}{\mathrm{d}\hat{\mathbf{x}}}& =-2{\mathbf{k}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}=0\end{array}$$

得到基础方程

$$\mathbf{V}=\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{k},{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{k}=0$$

联立得块法方程

$$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{N}& \mathbf{B}\\ {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathbf{k}\\ -\hat{\mathbf{x}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathbf{W}\\ 0\end{array}\right],\mathbf{N}=\mathbf{A}\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$$

设

$${\mathbf{N}}_B={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{B}$$

则

$$\{\begin{array}{l}\hat{\mathbf{x}}={\mathbf{N}}_B^{-1}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{W}\\ \mathbf{V}={\mathbf{QA}}^{\mathrm{T}}\mathbf{k}=-{\mathbf{QA}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}(\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{W})\end{array}$$

最终公式

对于闭合差 $\mathbf{W}=-\left(\mathbf{A}\mathbf{L}+\mathbf{B}{\mathbf{X}}_0+{\mathbf{A}}_0\right)$：

令 $\mathbf{N}=\mathbf{A}\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$，${\mathbf{N}}_B={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{B}$，则有改正数向量

$$\{\begin{array}{l}\hat{\mathbf{x}}={\mathbf{N}}_B^{-1}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{W}\\ \mathbf{V}={\mathbf{QA}}^{\mathrm{T}}\mathbf{k}=-{\mathbf{QA}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}(\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{W})\end{array}$$

最终平差值

$$\{\begin{array}{l}\hat{\mathbf{L}}=\mathbf{L}+\mathbf{V}\\ \hat{\mathbf{X}}={\mathbf{X}}^0+\hat{\mathbf{x}}\end{array}$$

精度评定

• 单位权方差估值公式不变：${\hat{\sigma }}_0^2=\frac{{\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{V}}{n-t}$，与参数改正数 $\hat{\mathbf{x}}$ 无关
• 改正数协因数阵：${\mathbf{Q}}_{VV}=\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{Q}-\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{A}{\mathbf{N}}_B^{-1}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{AQ}$
• 平差结果协因数阵：${\mathbf{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}=\mathbf{Q}-{\mathbf{Q}}_{VV}$
• 参数改正数协因数阵：${\mathbf{Q}}_{\hat{x}\hat{x}}={\mathbf{N}}_B^{-1}$

公式总结

• 函数模型：$\mathbf{A}\mathbf{V}+\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{W}=0$
• 随机模型：$\mathbf{D}={\sigma }_0^2\mathbf{Q}={\sigma }_0^2{\mathbf{P}}^{-1}$

平差步骤	公式
列条件方程	$\mathbf{A}\mathbf{V}+\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{W}=0$
组成法方程	$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{N}& \mathbf{B}\\ {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathbf{k}\\ -\hat{\mathbf{x}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathbf{W}\\ 0\end{array}\right]$ 其中 $\mathbf{N}={\mathbf{AQBA}}^{\mathrm{T}}$
法方程解	$\left[\begin{array}{c}\mathbf{k}\\ -\hat{\mathbf{x}}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}\mathbf{N}& \mathbf{B}\\ {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}& 0\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}\mathbf{W}\\ 0\end{array}\right]$
计算改正数	$\hat{\mathbf{x}}={\mathbf{N}}_B^{-1}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{W}$ $\mathbf{V}={\mathbf{QA}}^{\mathrm{T}}\mathbf{k}$ 其中 ${\mathbf{N}}_B={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{B}$
观测量平差值	$\hat{\mathbf{X}}={\mathbf{X}}^0+\hat{\mathbf{x}}$ $\hat{\mathbf{L}}=\mathbf{L}+\mathbf{V}$
单位权方差估值	${\hat{\sigma }}_0^2=\frac{{\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{PV}}{n-t}=\frac{{\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{PV}}{r}$ ${\mathbf{Q}}_{\hat{x}\hat{x}}={\mathbf{N}}_B^{-1}$
平差值函数的方差	${\mathbf{Q}}_{\hat{F}\hat{F}}={\mathbf{F}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}\mathbf{F}$ ${\mathbf{D}}_{\hat{F}\hat{F}}={\hat{\sigma }}_0^2{\mathbf{Q}}_{\hat{F}\hat{F}}$