4 摄影测量中的数学概念

平面间八参数投影

两平面间的中心投影变换式：

$$\begin{array}{rl}X& =\frac{e_{1}x+f_{1}y+g_1}{e_{0}x+f_{0}y+1}\\ Y& =\frac{e_{2}x+f_{2}y+g_2}{e_{0}x+f_{0}y+1}\end{array}$$

式中有八个参数，八参数需要最少四对同名点。可以基于同名点待定系数求解参数。

两平面间的中心投影与从三维空间到二维平面的中心投影的本质不同：三维到二维是多对一的关系，二维到二维是一对一的关系。

内外方位元素与定向

内方位元素：确定摄像机镜头中心相对于影像位置关系的参数。主距（$-f$），像主点的坐标（$x_0,y_0$）。

外方位元素：确定影像或摄影光束在摄影瞬间的空间位置和姿态的参数。摄影中心在物方空间的坐标（$X_S,Y_S,Z_S$），三个角元素（$\phi ,\omega ,\kappa$）。

内定向与外定向：

• 内定向：恢复摄影时像片和投影中心之间的关系，确定相机的内方位元素。
• 外定向：确定摄影时相机在物方空间的位置和姿态。

内外定向的区别与联系：

• 区别：内方位元素确定传感器内部参数、外方位元素确定传感器外部参数。
• 联系：内、外定向共同完成对摄影瞬间像片点与物点的几何关系，是恢复拍摄瞬间光束及其位置姿态的必要条件。先内定向，再外定向。

转角系统

以 $Y$ 轴为主轴的 $\phi \text{–}\omega \text{–}\kappa$ 转角系统：以 $Y$ 为主轴旋转 $\phi$ 角，然后绕 $X$ 轴旋转 $\omega$ 角，最后绕 $Z$ 轴旋转 $\kappa$ 角。

$$\begin{array}{rl}\mathbf{R}& ={\mathbf{R}}_{\phi }{\mathbf{R}}_{\omega }{\mathbf{R}}_{\kappa }\\ & =\left[\begin{array}{ccc}\cos \phi & 0& -\sin \phi \\ 0& 1& 0\\ \sin \phi & 0& \cos \phi \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \omega & -\sin \omega \\ 0& \sin \omega & \cos \omega \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \kappa & -\sin \kappa & 0\\ \sin \kappa & \cos \kappa & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right]\end{array}$$

像空间辅助坐标系和像空间坐标系的变换关系：

$$\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]=\mathbf{R}\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ -f\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ -f\end{array}\right]$$

确定旋转矩阵需要几个独立参量？解求的参数多于此个数，那么解算时应该怎样？

三个角元素（$\phi ,\omega ,\kappa$），$\mathbf{R}={\mathbf{R}}_{\phi }{\mathbf{R}}_{\omega }{\mathbf{R}}_{\kappa }$。多于三个时，要建立参数的约束关系，不同转角系统得到的最终 $\mathbf{R}$ 阵相同。

小测问题

• 两平面间的中心投影变换式？
• 两平面间的中心投影与从三维空间到二维空间的中心投影有什么本质不同？