11 概括平差

建模

概括平差函数模型也称为附有限制条件的条件平差模型，这种模型通过一些限制和定义，可以变换成前面介绍的四种经典平差函数模型中指定的一种。概括平差函数模型只用于理论分析，在实际工作中并不会采用。

基本计数关系

• 观测值个数：$n$
• 必要观测数：$t$
• 多余观测数：$r=n-t$
• 条件数：$c$
• 参数个数：$u$
• 参数间限制条件数：$s$

则有关系：$c=r+u-s$。

函数模型为

$$\{\begin{array}{l}f(\tilde{\mathit{L}},\tilde{\mathit{X}})=0\\ \Phi (\tilde{\mathit{X}})=\mathbf{0}\end{array}$$

线性化得到

$$\{\begin{array}{l}\underset{c\times n}{\mathit{A}}\underset{n\times 1}{\mathit{V}}+\underset{c\times n}{\mathit{B}}\underset{n\times 1}{\mathit{x}}-\underset{c\times 1}{\mathit{W}}=\underset{c\times 1}{\mathbf{0}}\\ \underset{s\times u}{\mathit{C}}\underset{u\times 1}{\hat{\mathit{x}}}-\underset{s\times 1}{{\mathit{W}}_x}=\underset{s\times 1}{\mathbf{0}}\end{array}$$

闭合差计算式为

$$\{\begin{array}{l}\mathit{W}=-(\mathit{A}\mathit{L}\mathbf{+}\mathit{B}{\mathit{X}}^{\mathbf{0}}+{\mathit{A}}_0)\\ {\mathit{W}}_x=-(\mathit{C}{\mathit{X}}^0+{\mathit{C}}_0)\end{array}$$

各系数阵的秩为

$$\mathrm{rank}(\mathit{A})=c,\mathrm{rank}(\mathit{B})=u,\mathrm{rank}(\mathit{C})=s$$

求解

建立拉格朗日函数

$$\mathit{\Phi }={\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}-2{\mathit{k}}^{\mathrm{T}}(\mathit{A}\mathit{V}+\mathit{B}\hat{\mathit{x}}-\mathit{w})-2{\mathit{k}}_s^{\mathrm{T}}(\mathit{C}\hat{\mathit{x}}-{\mathit{w}}_x)$$

求导得到

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}\mathit{\Phi }}{\mathrm{d}\mathit{V}}& =2{\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}-2{\mathit{k}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}=\mathbf{0}\\ \frac{\mathrm{d}\mathit{\Phi }}{\mathrm{d}\hat{\mathit{x}}}& =-2{\mathit{k}}^{\mathrm{T}}\mathit{B}-2{\mathit{k}}_s^{\mathrm{T}}\mathit{C}=\mathbf{0}\end{array}$$

得到基础方程

$$\{\begin{array}{l}\mathit{A}\mathit{V}+\mathit{B}\hat{\mathit{x}}-\mathit{w}=\mathbf{0}\\ \mathit{C}\hat{\mathit{x}}-{\mathit{w}}_x=\mathbf{0}\\ \mathit{V}=\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\mathit{k}\\ {\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{k}+{\mathit{C}}^{\mathrm{T}}{\mathit{k}}_s=\mathbf{0}\end{array}$$

令 $\mathit{N}=\mathit{A}\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}$ 得到法方程

$$\{\begin{array}{l}\mathit{N}\mathit{k}+\mathit{B}\hat{\mathit{x}}-\mathit{w}=\mathbf{0}\\ \mathit{C}\hat{\mathit{x}}-{\mathit{w}}_x=\mathbf{0}\\ {\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{k}+{\mathit{C}}^{\mathrm{T}}{\mathit{k}}_s=\mathbf{0}\end{array}$$

块法方程形式为

$$\left[\begin{array}{ccc}\mathit{N}& \mathbf{0}& \mathit{B}\\ \mathbf{0}& \mathbf{0}& \mathit{C}\\ {\mathit{B}}^{\mathrm{T}}& {\mathit{C}}^{\mathrm{T}}& \mathbf{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathit{k}\\ {\mathit{k}}_s\\ \hat{\mathit{x}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathit{w}\\ {\mathit{w}}_x\\ \mathbf{0}\end{array}\right]$$

法方程系数阵为满秩对称方阵，阶数为 $c+s+u$，可以解出联系数向量 $\mathit{k},{\mathit{k}}_s$ 和参数 $\hat{\mathit{x}}$ 的唯一解。

与四大经典平差模型之间的关系

• 条件平差：$c=r$，$u=s=0$ 的概括平差
• 附参数的条件平差：$c=r+u$，$s=0$ 的概括平差
• 间接平差：$u=t$，$c=r+u=u+t=n$，$s=0$ 的概括平差
• 附限制条件的间接平差：$u=t+s$，$c=r+u-s=r+t=n$ 的概括平差

平差模型	平差值方程	特点
条件平差	$\mathit{A}\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\mathit{k}-\mathit{W}=\mathbf{0}$	精度评定较复杂 部分条件式规律不明显 $r\ll t$ 时计算量小
附参数的 条件平差	$\left[\begin{array}{cc}\mathit{A}\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}& \mathit{B}\\ {\mathit{B}}^{\mathrm{T}}& \mathbf{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathit{k}\\ -\hat{\mathit{x}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathit{W}\\ \mathbf{0}\end{array}\right]$	需求个别非直接观测量的平差值和精 度时可将其设为参数 仅用直接观测量难以列立条件方程 式时可增选非观测量为参数
间接平差	${\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{B}\hat{\mathit{x}}-{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{l}=\mathbf{0}$	方程的列立规律性强 精度评定方便 $t\ll r$ 时计算量小
附限制条件的 间接平差	$\left[\begin{array}{cc}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{B}& {\mathit{C}}^{\mathrm{T}}\\ \mathit{C}& \mathbf{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hat{\mathit{x}}\\ \mathit{k}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{l}\\ {\mathit{W}}_x\end{array}\right]$	方程的列立规律性强 精度评定方便 多设参数可以简化误差方程
概括平差	$\left[\begin{array}{ccc}\mathit{N}& \mathbf{0}& \mathit{B}\\ \mathbf{0}& \mathbf{0}& \mathit{C}\\ {\mathit{B}}^{\mathrm{T}}& {\mathit{C}}^{\mathrm{T}}& \mathbf{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathit{k}\\ {\mathit{k}}_s\\ \hat{\mathit{x}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathit{w}\\ {\mathit{w}}_x\\ \mathbf{0}\end{array}\right]$	具有概括性，适合理论证明