11 概括平差

建模

概括平差函数模型也称为附有限制条件的条件平差模型，这种模型通过一些限制和定义，可以变换成前面介绍的四种经典平差函数模型中指定的一种。概括平差函数模型只用于理论分析，在实际工作中并不会采用。

基本计数关系

• 观测值个数：$n$
• 必要观测数：$t$
• 多余观测数：$r=n-t$
• 条件数：$c$
• 参数个数：$u$
• 参数间限制条件数：$s$

则有关系：$c=r+u-s$。

函数模型为

$$\{\begin{array}{l}f(\tilde{\mathbf{L}},\tilde{\mathbf{X}})=0\\ \Phi (\tilde{\mathbf{X}})=0\end{array}$$

线性化得到

$$\{\begin{array}{l}\underset{c\times n}{A}\underset{n\times 1}{V}+\underset{c\times n}{B}\underset{n\times 1}{x}-\underset{c\times 1}{W}=\underset{c\times 1}{0}\\ \underset{s\times u}{C}\underset{u\times 1}{\hat{\mathbf{x}}}-\underset{s\times 1}{{\mathbf{W}}_x}=\underset{s\times 1}{0}\end{array}$$

闭合差计算式为

$$\{\begin{array}{l}\mathbf{W}=-(\mathbf{AL}+{\mathbf{BX}}^0+{\mathbf{A}}_0)\\ {\mathbf{W}}_x=-({\mathbf{CX}}^0+{\mathbf{C}}_0)\end{array}$$

各系数阵的秩为

$$\mathrm{rank}(\mathbf{A})=c,\mathrm{rank}(\mathbf{B})=u,\mathrm{rank}(\mathbf{C})=s$$

求解

建立拉格朗日函数

$$\mathbf{\Phi }={\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{V}-2{\mathbf{k}}^{\mathrm{T}}\left(\mathbf{A}\mathbf{V}+\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{W}\right)-2{\mathbf{k}}_s^{\mathrm{T}}\left(\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}-{\mathbf{W}}_x\right)$$

求导得到

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}\mathbf{\Phi }}{\mathrm{d}\mathbf{V}}& =2{\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}-2{\mathbf{k}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}=0\\ \frac{\mathrm{d}\mathbf{\Phi }}{\mathrm{d}\hat{\mathbf{x}}}& =-2{\mathbf{k}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}-2{\mathbf{k}}_s^{\mathrm{T}}\mathbf{C}=0\end{array}$$

得到基础方程

$$\{\begin{array}{l}\mathbf{A}\mathbf{V}+\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{W}=0\\ \mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}-{\mathbf{W}}_x=0\\ \mathbf{V}=\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{k}\\ {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{k}+{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{k}}_s=0\end{array}$$

令 $\mathbf{N}={\mathbf{AQA}}^{\mathrm{T}}$ 得到法方程

$$\{\begin{array}{l}\mathbf{N}\mathbf{k}+\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{W}=0\\ \mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}-{\mathbf{W}}_x=0\\ {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{k}+{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{k}}_s=0\end{array}$$

块法方程形式为

$$\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{N}& 0& \mathbf{B}\\ 0& 0& \mathbf{C}\\ {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}& {\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathbf{k}\\ {\mathbf{k}}_s\\ \hat{\mathbf{x}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathbf{W}\\ {\mathbf{W}}_x\\ 0\end{array}\right]$$

法方程系数阵为满秩对称方阵，阶数为 $c+s+u$，可以解出联系数向量 $\mathbf{k},{\mathbf{k}}_s$ 和参数 $\hat{\mathbf{x}}$ 的唯一解。

与四大经典平差模型之间的关系

• 条件平差：$c=r$，$u=s=0$ 的概括平差
• 附参数的条件平差：$c=r+u$，$s=0$ 的概括平差
• 间接平差：$u=t$，$c=r+u=u+t=n$，$s=0$ 的概括平差
• 附限制条件的间接平差：$u=t+s$，$c=r+u-s=r+t=n$ 的概括平差

平差模型	平差值方程	特点
条件平差	$\mathbf{A}\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{k}-\mathbf{W}=0$	精度评定较复杂 部分条件式规律不明显 $r\ll t$ 时计算量小
附参数的 条件平差	$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}& \mathbf{B}\\ {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathbf{k}\\ -\hat{\mathbf{x}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathbf{W}\\ 0\end{array}\right]$	需求个别非直接观测量的平差值和精 度时可将其设为参数 仅用直接观测量难以列立条件方程 式时可增选非观测量为参数
间接平差	${\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{PB}\hat{\mathbf{x}}-{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Pl}=0$	方程的列立规律性强 精度评定方便 $t\ll r$ 时计算量小
附限制条件的 间接平差	$\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{B}& {\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\\ \mathbf{C}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hat{\mathbf{x}}\\ \mathbf{k}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{l}\\ {\mathbf{W}}_x\end{array}\right]$	方程的列立规律性强 精度评定方便 多设参数可以简化误差方程
概括平差	$\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{A}\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}& 0& \mathbf{B}\\ 0& 0& \mathbf{C}\\ {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}& {\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathbf{k}\\ {\mathbf{k}}_s\\ \hat{\mathbf{x}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathbf{W}\\ {\mathbf{W}}_x\\ 0\end{array}\right]$	具有概括性，适合理论证明