10 附有限制条件的间接平差

模型

在间接平差基础上，额外获知一些参数之间的关系时，即变为附有限制条件的间接平差。

• 观测值个数：$n$
• 参数个数：$u$
• 参数条件数：$s$
• 必要观测数：$t=u-s$
• 多余观测数：$r=n-t=n-u+s$

$$\{\begin{array}{l}\hat{\mathbf{L}}=\mathbf{B}\hat{\mathbf{X}}+\mathbf{d}\\ \mathbf{C}\hat{\mathbf{X}}+{\mathbf{C}}_0=0\end{array}$$

令

$$\hat{\mathbf{X}}={\mathbf{X}}_0+\hat{\mathbf{x}},\mathbf{l}=\mathbf{L}-\mathbf{B}{\mathbf{X}}_0-\mathbf{d},{\mathbf{W}}_x=-(\mathbf{C}{\mathbf{X}}_0+{\mathbf{C}}_0)$$

得

$$\{\begin{array}{l}\mathbf{V}=\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{l}\\ \mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}-{\mathbf{W}}_x=0\end{array}$$

解算

目标函数取最小：

$${\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{V}=\min$$

在约束 $\mathbf{V}=\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{l}$ 下，设联系数向量 ${\mathbf{k}}_{n\times 1}$ 与 ${\mathbf{g}}_{n\times 1}$，得拉格朗日条件极值函数：

$$\mathbf{\Phi }={\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{PV}-2{\mathbf{k}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}-{\mathbf{W}}_x)-2{\mathbf{g}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{V}-\mathbf{l})=\min$$$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}\mathbf{\Phi }}{\mathrm{d}\mathbf{V}}& =2{\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}-2{\mathbf{g}}^{\mathrm{T}}=0\Rightarrow \mathbf{g}=\mathbf{PV}\\ \frac{\mathrm{d}\mathbf{\Phi }}{\mathrm{d}\hat{\mathbf{x}}}& =2{\mathbf{k}}^{\mathrm{T}}\mathbf{C}+2{\mathbf{g}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}=0\Rightarrow {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{g}+{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{k}=0\end{array}\Rightarrow {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{PV}+{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{k}=0$$$$\{\begin{array}{l}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{PV}+{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{k}=0\\ \mathbf{V}=\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{l}\\ \mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}-{\mathbf{W}}_x=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{PB}\hat{\mathbf{x}}+{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{k}={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Pl}\\ \mathbf{C}\hat{\mathbf{x}}-{\mathbf{W}}_x=0\end{array}$$

整理得到块法方程

$$\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{B}& {\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\\ \mathbf{C}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hat{\mathbf{x}}\\ \mathbf{k}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{l}\\ {\mathbf{W}}_x\end{array}\right]$$

解出 $\hat{\mathbf{x}}$ 后仍有

$$\mathbf{V}=\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{l},\hat{\mathbf{X}}={\mathbf{X}}_0+\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{L}}=\mathbf{L}+\mathbf{V}$$

附有限制条件的间接平差精度评定推导涉及分块矩阵求逆，最终公式复杂，此处不再展开。