5 交会定点

概念

交会定点是由已知控制点出发，通过观测角度 / 距离来计算待定点坐标的方法。典型任务是：在控制导线已经布设完成后，为局部遮挡区域补充一个新控制点。

• 本质：都是先求方向与边长关系，再转成坐标增量计算
• 与地形测量的方法本质一致，但用途不同
  • 交会定点：求得的是新控制点，精度要求高，通常不再连续延伸
  • 地形测量：求得的是地形点，可连续观测多个点

方法总览

• 极坐标法
• 直角坐标法
• 方向交会法（前方交会、后方交会）
• 距离交会法（测边交会）
• 方向距离交会法

极坐标法

最常用的方式，导线测量的基础。

• 已知 $A(X_A,Y_A),B(X_B,Y_B)$
• 测量方向角改正量（转角）$\beta$、边长 $D_{AP}$（或 $D_{BP}$）

计算流程：

1. 坐标反算基线方位角$${\alpha }_{AB}=\arctan \frac{Y_B-Y_A}{X_B-X_A}$$
2. 求待测方向方位角（如从 $A$ 站观测）$${\alpha }_{AP}={\alpha }_{AB}+\beta$$
3. 求坐标增量并计算坐标$$\Delta X_{AP}=D_{AP}\cos {\alpha }_{AP},\Delta Y_{AP}=D_{AP}\sin {\alpha }_{AP}$$$$X_P=X_A+\Delta X_{AP},Y_P=Y_A+\Delta Y_{AP}$$

适用条件：

• 可测角：$AB$、$AP$ 通视，有测角设备
• 可测边：有测距设备，使用激光测距设备时 $A$ 或 $P$ 有良好回波

直角坐标法

• 已知 $A(X_A,Y_A),B(X_B,Y_B)$
• 取 $M$ 为待测点 $P$ 在 $AB$ 上的垂足，测量距离 $D_{AM},D_{MP}$

计算流程：

1. 坐标反算基线方位角 ${\alpha }_{AB}$
2. 计算投影点 $M$ 坐标$$X_M=X_A+D_{AM}\cos {\alpha }_{AB},Y_M=Y_A+D_{AM}\sin {\alpha }_{AB}$$
3. 此时已转化为极坐标法，按 $P$ 在 $AB$ 左 / 右侧求坐标（以左侧为例）$$X_P=X_M+D_{MP}\cos ({\alpha }_{AB}-90^{\circ })$$$$Y_P=Y_M+D_{MP}\sin ({\alpha }_{AB}-90^{\circ })$$

适用条件：待测点到已知点方向不便直接测角测距。适用范围窄，作垂线繁琐，因此不常用，了解即可。

方向交会

前方交会（测角交会）

• 已知 $A,B$ 坐标
• 分别在 $A,B$ 设站，测量 $\alpha =\angle PAB$，$\beta =\angle PBA$

计算流程：

1. 坐标反算基线方位角 ${\alpha }_{AB}$，加减 $\alpha ,\beta$ 得到 ${\alpha }_{AP},{\alpha }_{BP}$

2. 用正弦定理求三角形边长

   $$c=\sqrt{(X_B-X_A{)}^2+(Y_B-Y_A{)}^2},a=c\cdot \frac{\sin \alpha }{\sin \gamma },b=c\cdot \frac{\sin \beta }{\sin \gamma }$$

3. 此时已转化为极坐标法，由已知点坐标 + 方位角 + 边长求 $P$ 坐标

适用条件：

• $AB$、$AP$、$BP$ 通视，有测角设备
• $A,B$ 点可到达
• 无需测距

因此通常在无测距设备时（例如只有经纬仪）使用。

方向后方交会

在待定点 $P$ 设站，向三个已知点 $A,B,C$ 观测夹角。$P$ 可位于已知点三角形内部，也可在外部。

• 已知点 $A,B,C$ 坐标
• 在待定点 $P$ 设站，测量 $\alpha =\angle BPC$，$\beta =\angle BPA$（也可以选择其他组合，最终能得到 $PA,PB,PC$ 两两夹角即可）

教材介绍后方交会的重心公式：

$$\{\begin{array}{rl}{x}_P& =\frac{p_A{x}_A+p_B{x}_B+p_C{x}_C}{p_A+p_B+p_C}\\ y_P& =\frac{p_A{y}_A+p_B{y}_B+p_C{y}_C}{p_A+p_B+p_C}\end{array}$$

其中权重为

$$\{\begin{array}{rl}{p}_A& =\frac{\tan \alpha \cdot \tan A}{\tan \alpha -\tan A}\\ p_B& =\frac{\tan \beta \cdot \tan B}{\tan \beta -\tan B}\\ p_C& =\frac{\tan \gamma \cdot \tan C}{\tan \gamma -\tan C}\end{array}$$

危险圆问题

$A,B,C,P$ 四点不可共圆。

考虑共圆的情形。由于同一弧的圆周角相等，$P$ 在圆上任意一点时均有 $\alpha =\angle A$，$\beta =\angle B$。反映在上面的公式中就是权重分母为零。

如果接近共圆则分母将会极小，使得数值解不稳定，应尽量避免。

适用条件：

• $PA$、$PB$、$PC$ 通视，有测角设备
• 待测点可到达
• 无需测距

常用于控制点不可到达、待测点可到达的情况。

距离交会（测边交会）

• 已知 $A,B$ 坐标
• 观测 $AP=b,BP=a$

计算流程：

1. 坐标反算基线方位角 ${\alpha }_{BA}$
2. 由余弦定理求内角（如 $\beta$）$$\beta =\arccos \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)$$
3. 求 ${\alpha }_{BP}$$${\alpha }_{BP}={\alpha }_{BA}+\beta$$
4. 求待定点坐标$$X_P=X_B+a\cos {\alpha }_{BP},Y_P=Y_B+a\sin {\alpha }_{BP}$$

适用条件：

• $AB$、$BP$ 通视，有测距设备
• 待测点可到达
• 无需测角

常用于无测角仪器（例如仅有激光测距仪）、控制点不通视等情况。

方向距离交会

• 已知 $A,B$ 坐标
• 观测一条边 $D_{AP}$、一个角 $\beta =\angle ABP$

计算流程：

1. 坐标反算基线方位角 ${\alpha }_{BA}$ 与边长 $D_{AB}$

2. 正弦定理求 $\gamma =\angle APB$，得到 ${\alpha }_{AP}$

   $$\gamma =\arcsin \left(\frac{D_{AB}}{D_{AP}}\sin \beta \right),{\alpha }_{AP}={\alpha }_{BP}+\gamma$$

3. 此时已转化为极坐标法，由已知点坐标 + 方位角 + 边长求 $P$ 坐标

   $$X_P=X_A+D_{AP}\cos ({\alpha }_{BP}+r),Y_P=Y_A+D_{AP}\sin ({\alpha }_{BP}+r)$$

适用条件：

• $PA$、$PB$ 通视
• 有测距和测角设备

常用于其中一个控制点没有测距回波，或其中一个控制点不可到达的情况。