5 交会定点

概念

交会定点：由已知控制点出发，通过观测角度 / 距离来计算待定点坐标。
典型任务是：在控制导线已经布设完成后，为局部遮挡区域补充一个新控制点。

• 本质：都是先求方向与边长关系，再转成坐标增量计算
• 与地形测量的方法本质一致，但用途不同
  • 交会定点：求得的是新控制点，精度要求高，通常不再连续延伸
  • 地形测量：求得的是地形点，可连续观测多个点

方法总览

1. 极坐标法
2. 直角坐标法
3. 方向交会法（前方交会、后方交会）
4. 距离交会法（测边交会）
5. 方向距离交会法

TIP

按观测量记忆：

• 角度 + 距离：极坐标法、方向距离交会法
• 角度 + 角度：方向交会法
• 距离 + 距离：直角坐标法、距离交会法

极坐标法

已知点：$A(X_A,Y_A),B(X_B,Y_B)$
观测量：方向角改正量（转角）$\beta$、边长 $D_{AP}$（或 $D_{BP}$）

计算流程：

1. 坐标反算基线方位角$${\alpha }_{AB}=\arctan \frac{Y_B-Y_A}{X_B-X_A}$$
2. 求待测方向方位角（如从 $A$ 站观测）$${\alpha }_{AP}={\alpha }_{AB}+\beta$$
3. 求坐标增量并计算坐标$$\mathrm{\Delta }{X}_{AP}=D_{AP}\cos {\alpha }_{AP},\mathrm{\Delta }{Y}_{AP}=D_{AP}\sin {\alpha }_{AP}$$$$X_P=X_A+\mathrm{\Delta }{X}_{AP},Y_P=Y_A+\mathrm{\Delta }{Y}_{AP}$$

适用：角度和距离都能测得，最常用、效率最高。

直角坐标法

适用情形：待测点到已知点方向不便直接测角 / 测距时，先作投影辅助计算。
设 $M$ 为待测点 $P$ 在 $AB$ 上的垂足，实测 $D_{AM},D_{MP}$。

1. 计算 ${\alpha }_{AB}$
2. 计算投影点 $M$ 坐标$$X_M=X_A+D_{AM}\cos {\alpha }_{AB},Y_M=Y_A+D_{AM}\sin {\alpha }_{AB}$$
3. 按 $P$ 在 $AB$ 左 / 右侧求坐标（以左侧为例）$$X_P=X_M+D_{MP}\cos ({\alpha }_{AB}-{90}^{\circ })$$$$Y_P=Y_M+D_{MP}\sin ({\alpha }_{AB}-{90}^{\circ })$$

方向交会法

前方交会（测角交会）

已知：$A,B$ 坐标；观测 $\alpha ,\beta$。
角度关系：$\gamma ={180}^{\circ }-\alpha -\beta$。

常用流程：

1. 先求 ${\alpha }_{AB},{\alpha }_{AP},{\alpha }_{BP}$
2. 用正弦定理求三角形边长
3. 由已知点坐标 + 方位角 + 边长求 $P$ 坐标

课件中的边长关系：

$$c=\sqrt{(X_B-X_A{)}^2+(Y_B-Y_A{)}^2},a=c\cdot \frac{\sin \alpha }{\sin \gamma },b=c\cdot \frac{\sin \beta }{\sin \gamma }$$

后方交会

在待定点 $P$ 设站，向三个已知点 $A,B,C$ 观测水平方向值 $R_A,R_B,R_C$，反算 $P$ 坐标。

• $P$ 可位于已知点三角形内部，也可在外部
• 需注意 “危险圆” 问题（几何构型不良时解不稳定）

距离交会法（测边交会）

已知：$A,B$ 坐标及 $AB$ 方位角 ${\alpha }_{AB}$。
观测：$AP=b,BP=a$（两条距离）。

一种常见流程：

1. 由余弦定理求内角（如 $\beta$）$$\beta =\arccos \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)$$
2. 求 ${\alpha }_{BP}$$${\alpha }_{BP}={\alpha }_{BA}+\beta$$
3. 求待定点坐标$$X_P=X_B+a\cos {\alpha }_{BP},Y_P=Y_B+a\sin {\alpha }_{BP}$$

方向距离交会法

适用：无法在同一测站同时获得角度和距离时，可在一处测距、另一处测角。

课件常用写法（符号按课件）：

$$D_{AB}=\sqrt{(X_A-X_B{)}^2+(Y_A-Y_B{)}^2}$$$${\alpha }_{BA}=\arctan \frac{Y_A-Y_B}{X_A-X_B},{\alpha }_{BP}=\alpha +{\alpha }_{BA}$$$$r=\arcsin (\frac{D_{AB}}{D_{AP}}\sin \alpha ),{\alpha }_{AP}={\alpha }_{BP}+r$$$$X_P=X_A+D_{AP}\cos ({\alpha }_{BP}+r),Y_P=Y_A+D_{AP}\sin ({\alpha }_{BP}+r)$$

易错点

• 方位角统一按同一坐标系与同一旋转方向处理
• 三角形构型过扁、后方交会接近危险圆时，解的稳定性显著变差
• 交会定点用于控制点时，不宜像支导线那样连续多级延伸

小结

• 最常用：极坐标法、方向交会法、距离交会法
• 能同时测角测距优先极坐标；只能测角用方向交会；只能测距用距离交会 / 直角坐标
• 所有方法最终都要落到 “方位角 + 坐标增量” 来求坐标